本文關(guān)鍵詞：應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計

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2006 級碩士研究生《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計》 試題參考答案 （2007 年 1 月 12 日） 姓名： ， 學號： ， 成績： 一、 選擇題（每小題 3 分， 共 12 分） 1. 統(tǒng) 計 量~ ( )t nT分 布 ，則 統(tǒng) 計 量2T的(01)αα<<分 位 點2( {))x P Tαxαα=≤是（ B ） A. 212( )ntα−疰痃痂瘀癉瘌 B. 12( )ntα+ C. 12( )ntα− D. 212( )ntα+疰痃痂瘀癉瘌 2. 設(shè)隨機變量~(0,1)XN,~(0,1)YN, 則（ C ） A. 2/XY 服從 t-分布 B. 22XY+服從2χ -分布 C. 2X 和2Y 都服從2χ -分布 D. 22/XY 服從 F-分布 3. 某四因素二水平試驗， 選擇正交表78(2 )L， 已填好 A, B, C 三個因子， 分別在第一， 第四， 第七列， 若要避免“雜混”， 應(yīng)安排因子 D 在第（ B ）列。 A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 78(2 )L交互作用表 1 (1) 2 3 (2) 3 2 1 (3) 4 5 6 7 (4) 5 4 7 6 1 (5) 6 7 4 5 2 3 (6) 7 6 5 4 3 2 1 (7) 4． 設(shè)總體 X 服從兩點分布， 分布率為1{}(1)xxP Xxpp−==−， 其中 x=0 或1， p 為未知參數(shù)，12,,,nX XX餖是來自總體的簡單樣本， 則下面統(tǒng)計量中不是充分統(tǒng)計量的是（ D ）。 A. 1niiX=皰 B. 11niiXn=皰 C. 111niiXn=−皰 D. 11niiXpn=−皰 二、 填空題（每小題 3 分， 共 12 分） 1. 設(shè)12,,,nX XX餖是來自正態(tài)總體2(0,)Nσ的簡單樣本， 則常數(shù) c=nmm−時統(tǒng)計量121miinii m= +皰cXX=皰服從 t-分布(1)mn≤≤， 其自由度為 n-m 。 2. 設(shè)12,,,nX XX餖是來自正態(tài)總體2( ,)N μ σ的簡單樣本， 其中2σ 已知。 則在滿足 {}1P XaXbμα−≤≤+= −的均值 μ 的置信度為1 α−的置信區(qū) 間 類 {[,]: ,}Xa Xba b−+為常數(shù) 中 區(qū) 間 長 度 最 短 的 置 信 區(qū) 間 為（ [,]Xa Xa−+ ）。 3. 設(shè)12,,,nX XX餖是來自 正態(tài)總體2( ,)N μ σ的簡單樣本， 其中 μ 已知, 則2σ 的無偏估計22111−皰()n 1nkkSXX==−,22211()nnkk皰SXμ==−中較優(yōu)的是（ 22 S ）。 4. 在雙因素試驗的方差分析中 ，， 總 方差T S 的分解中 包含誤差平方和2111()pqrijEijkijkSxx •====−皰皰皰， 則ES 的自由度為（ (1)pq r− ）。 三、 （12 分） 設(shè)12,,,nX XX餖來自指數(shù)分布1,0( )f x0,0xexxθθ−癆癇>=痦癇痤≤的簡單樣本，（1）試求參數(shù)θ 的極大似然估計ˆθ ， 它是否是無偏估計？（2）求樣本的 Fisher信息量； （3） 求θ 的一致方差無偏估計； （4） 問ˆθ 是否是θ 的有效估計？ 解： (1) 聯(lián)合密度函數(shù)：}/ )iexp{();θ,,,(121皰=i−−=nnnXXXXLθθ餖 0lnθdln)(θln211=+−=−−=皰=θ皰=iθθθniiniXnLdXnL令 得到θ 的極大似然估計XXnii== 皰n=11ˆθ 00ˆ( )xyxEEXEXxf x dxe dxye dyθθθθθ−∞∞−∞−∞======痱痱痱 令xyθ= − 所以，X 是θ 的無偏估計。 (2) ln ( ; )lnxf x θθθ= −− 2223ln ( ; )f xθ∂12xθθθ∂=− 信息量22232ln ( ; )f xθ∂12θ1( )θ()ExIEθθθθ∂= −= −+= (3) 由于11( ; )f xexp{}xθθθ=−• 1( )w θθ= −的值域包含內(nèi)點， 所以1(x)niiTX==皰是充分統(tǒng)計量 X 是 (x)T 的函數(shù)并且為θ 的無偏估計， 所以 X 為 UMVUE。 （4）20222220( )2θxyxθEXx f x dxe dxy e dyθθ−∞∞−∞−∞====痱痱痱 222()DXEXEXθ=−= 21ˆDDXDXnnθθ === 方差下界為' 22( )θ( ( ))( )θVar T xnInθ== 因為ˆDθ 達到了方差下界， 所以ˆXθ =是θ 的有效估計。 四、 （6 分， A 班不作） 在多元線性回歸YXβε=+中， 參數(shù) β 的最小二乘估 計 為'1'ˆ()X XX Yβ−=，殘 差 向 量 為'1'ˆ(())eY Y−IX X XX Y−==−。令'1''1'ˆ()(())X XX YZeIX X XX Yβ疰 瘀痃痂 瘌−−疰痃痂瘀癉癉瘌==痃癉−， 當2~(0,)NIεσ時， Z 服從多元正態(tài)分布。試證明ˆβ 和 e 相互獨立。 證明：'1''1'ˆ( , )β((()) ,())Cov eCov IX X XX Y X XX Y−−=− '1''1' ')(())( , )(()IX X XX Cov Y YX XX−−=− '1'2'1(())σ()IX X XXIX X X−−=− 2'1'1''1[()()() ]I X X XX X XX X X Xσ=−−−− 2'1'1[()() ]0I X X XX X Xσ=−−−= 所以，ˆβ 和 e 相互獨立。 五、 （6 分， A 班不作） 設(shè)某切割機切割金屬棒的長度 X 服從正態(tài)分布， 正常工作時， 切割每段金屬棒的平均長度為 10. 5cm。 某日為了檢驗切割機工作是否正常， 隨機抽取 15 段進行測量， 得樣本均值10.48xcm=， 樣本方差220.056scm=。 在顯著性水平0.05α =下， 試問該切割機工作是否正常？（0.950.9750.950.975t1.64,1.96,(14)1.7613,(14)2.1448zzt====） 解： 設(shè)檢驗問題為：0:10.5Hμ = 1:10.5Hμ ≠ 選擇樞軸量 ( )~ (1)/xT xt nsnμ−=−， 由0.975t{ ( )P T x(1)}nα=≥−，0.975(14)t2.1448= 得拒絕域為{ ( )T x2.1448}W=≥ 代入20.056,10.48sx==得10.48 10.50.32732.1448/0.056 /15xTsnμ−−===< 所以不拒絕0H ， 即認為該切割機工作正常。 六、 （6 分， B 班不作） 設(shè)2~( ,)XN θ σ，12,,,nX XX餖為來自 X 的樣本， 并設(shè)θ 的先驗分布為2~( ,μ τ)Nθ，2, μ τ 已知， 則可知均值θ 的 Bayes 估計為 22221ˆ1nXσnμτθστ+=+ 試通過此例說明 Bayes 估計的特點。 答： Bayes 估計有以下特點： 1. 若只有先驗信息而無樣本時， 式中0,0Xn== ， 則ˆθμ=， 所以只能用先驗分布估計未知參數(shù)； 2. 若只有樣本信息而不知道先驗分布時， 式中2, μ τ 去除， 則ˆXθ =， 所以用樣本的均值可以作為未知θ 的估計； 3. 當兩種信息都存在時， Bayes 估計是兩種信息量的加權(quán)平均。 可見， Bayes能夠較好的綜合先驗信息和樣本信息， 使估計的結(jié)果更精確。 七、 （6 分， B 班不作） 設(shè)12,,,nX XX餖是來自正態(tài)總體2(0,)Nσ的簡單樣本，考慮檢驗問題 20:1Hσ = 21:2H σ = 在顯著水平0.05α =下， 求最優(yōu)檢驗（MP） 的拒絕域。 解： 聯(lián)合密度函數(shù)記為212(,,,;)nL X XX σ餖 設(shè)檢驗 ( ) x帳撬轎

本文編號：1300543