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第一節(jié) 代數(shù)學(xué)的發(fā)展

一、伽羅瓦理論及群論的發(fā)展

　　長期以來，求解方程一直是整個代數(shù)的中心內(nèi)容，而且在19世紀(jì)前期仍是如此．19世紀(jì)在探討方程求解的問題中，出現(xiàn)了一種全新的理論．這一理論雖然以解決方程論中的重要問題為目的，但卻引入了群和域等新概念，從而開辟了代數(shù)學(xué)研究的新方向．

　　阿貝爾和伽羅瓦是伽羅瓦理論及群論的主要奠基者．阿貝爾生于挪

伽羅瓦生于巴黎附近的布拉倫(Bourg-la－Reine)．他們倆有著共同的命運，很年輕就在數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域做出了輝煌成就，但卻不幸夭折，阿貝爾在26歲時死于結(jié)核病和營養(yǎng)不良，伽羅瓦21歲時死于決斗．在世時都沒有為人所賞識．

　　為了求解四次以上的方程，華林、拉格朗日、魯菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有價值的工作．他們提出了方程的根的初等對稱函數(shù)、置換等內(nèi)容．這些都對阿貝爾、伽羅瓦有直接的影響．

　　阿貝爾在1824年春天成功地證明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在這個過程中，他首先證明了今天的阿貝爾定理：可用根式求解的方程的根能以這樣的形式給出，出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個根式都可表成方程的根和某些單位根的有理函數(shù)．

　　利用阿貝爾定理，1826年阿貝爾證明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根據(jù)阿貝爾的思想，克羅內(nèi)克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年給出了一個直接、簡單明了而又非常嚴(yán)密的證明．這樣，幾百年之久的求解高于四次的一般方程的問題就被阿貝爾解決了．

　　不僅如此，阿貝爾還給出了特殊的可用根式求解的方程的特征：這些方程的所有根都是其中一個根的函數(shù)，即全部根為x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函數(shù)．

　　1853年，克羅內(nèi)克稱具有這種特征的方程為阿貝爾(Abel)方程．

　　隨后，阿貝爾證明了更一般的定理：如果一個方程的所有根能表示成其中一個根的有理函數(shù)，且對于其中任意的兩個根θα，θβ，有

θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．

　　則該方程可用根式求解．

　　阿貝爾一生在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也做出過重大的貢獻．在橢圓函數(shù)方面、分析嚴(yán)密化方面都留下了他的足跡．其中有以他的名字命名的阿貝爾積分方程，阿貝爾定理，阿貝爾收斂判別法和關(guān)于冪級數(shù)的阿貝爾定理．

　　阿貝爾的工作開辟了代數(shù)學(xué)研究的新方向，他引進了域和在給定域中不可約多項式這兩個概念，并且開始了群論的研究．

　　在群論、方程根的置換等問題的研究中，伽羅瓦也取得了重要成就．他試圖解決這樣的問題：雖然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿貝爾方程卻可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？

　　為了解決這個問題，他利用了拉格朗日關(guān)于根的置換、排列的概念．如設(shè)x1，x2，x3，x4是一個四次方程的根，則在這四個根的排列中交換xi和xj就是一個置換，這樣總共就有4�。�24種可能的置換．經(jīng)過任何兩個置換后仍是其中的一個置換，所置換的集合形成一個群，這樣伽羅瓦就給出了關(guān)于抽象群的一個早期定義．

　　這樣，方程的群就成了它的可解性的關(guān)鍵．然后再這樣進行探討：給了一個方程，按照某種方法找到方程在系數(shù)域中的群G——根的置換群，這些置換使根之間的系數(shù)在該域中的全部關(guān)系保持不變．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套僅含有理運算的手續(xù)來找到根的對于G的所有T≠R，它的值發(fā)生改變．存在一種方法構(gòu)造R中的一個．這個方程稱為一個部分預(yù)解式．經(jīng)過一系列工作，伽羅瓦給出了找給定方程的群，逐次預(yù)解式以及方程關(guān)于逐次擴大了的系數(shù)域的群——原來群的逐次子群的一系列方法，在這些工作中，群論的基本理論有了一些框架．

　　然后伽羅瓦引入了正規(guī)子群(或稱自共軛子群，不變子群)的概念．他證明了當(dāng)作為約化方程的群的預(yù)解或是一個素數(shù)次p的二項方程xp-A＝0時，則H是G的一個具有指數(shù)p的正規(guī)子群；反之，如果H是G的一個正規(guī)子群，且具有素指數(shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式是p次二項方程，或能化簡到這樣的方程．

　　伽羅瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一個都是前一個群中的極大正規(guī)子群．H對G的指數(shù)，K對H的指數(shù)等等，稱為合成序列的指數(shù)．他得出了如下的重要結(jié)論：若一個方程的置換群的逐次子群所成的合成序列的指數(shù)都是素數(shù)，則這方程就能用根式求解；否則，該方程就不能用根式求解．

　　利用這個結(jié)論，伽羅瓦證明，對于一般的n次方程，方程的置換群由n個根的全部n！個置換組成，置換群稱為n級對稱群．它的階是n�。�

　　

而n＝2時，合成序列的指數(shù)是2，n=3時合成序列的指數(shù)是2和3，n=4時合成序列的指數(shù)是2，3，2，2，因此當(dāng)n≤4時方程能用根式求解．

　　伽羅瓦于1830年徹底解決了方程能用根式求解的問題．他證明一個素數(shù)次的不可約方程能用根式求解的充分必要條件是，這個方程的每個根都是其中兩個根的帶有R中系數(shù)的有理系數(shù)．滿足這種條件的方程稱為伽羅瓦方程．最簡單的伽羅瓦方程是xp-A＝0(p為素數(shù))．阿貝爾方程也是一種伽羅瓦方程．

　　伽羅瓦的工作一部分是關(guān)于方程的伽羅瓦理論，另一部分本身就是他所開創(chuàng)的一個新領(lǐng)域——群論．他是在嚴(yán)格的意義上使用“群(Group)”的第一個人，他引進了置換群、不變子群等概念，并且把群和域的擴張對應(yīng)起來．

　　群論的產(chǎn)生深刻地改變了代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，使代數(shù)學(xué)從主要研究方程開始轉(zhuǎn)向研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，并且使代數(shù)學(xué)開始向更嚴(yán)密的方向邁進．

　　伽羅瓦理論不僅回答了方程的求解問題，而且解決了古希臘“三大幾何問題”中的“三等分任意角”和“倍立方體”問題．他的工作提供了可作圖的一個判別法：對于一個作圖問題首先要建立一個代數(shù)方程，它的解就是所要求的量．可作圖的條件是這個量必須屬于給定量的域的某個二次擴張域．利用這個判別法就可以解決上述兩個問題，判明這兩個問題都是不可解的．實際上，1837年旺策爾(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾獨立地證明了這兩個問題的不可能性．

　　1837年旺策爾還給出了正多邊形可作圖的必要性證明，這個問題是高斯在1796年提出的，高斯斷言：一個正n邊形是可作圖的，，當(dāng)且僅當(dāng)任意正整數(shù)或0．

　　拉格朗日已經(jīng)知道子群的階整除群的階．伽羅瓦則給出了單群、合成群以及兩個群G與G′之間的同構(gòu)的概念．

　　由于伽羅瓦的工作1846年才陸續(xù)發(fā)表，所以直到1870年約當(dāng)(C．Jordan，1838—1922)發(fā)表著名的《置換和代數(shù)方程專論》(Traité des Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次給伽羅瓦理論清楚、完善的表述，這時群的概念已從方程論進入到數(shù)學(xué)的更廣泛的領(lǐng)域．約當(dāng)不僅使群論系統(tǒng)化，而且做出了許多重要的工作．1869年，他從極大自共軛子群出發(fā)，引入了商群的概念，并且在1872年引入記號Gi/Gi+1表示商群．他曾證明了今天的約當(dāng)—建立了同構(gòu)、同態(tài)的概念，添加了關(guān)于傳遞群和合成群的許多結(jié)果，在書中，他還指出，可解方程的群都是交換群，他稱這樣的群為阿貝爾群．

　　
…，n)的線性變換來表示置換．1878年他曾提出，有限周期p的線性，…，n，εi是p次單位根．1868—1869年，他第一個對無限群進行了重要的研究，開創(chuàng)了利用群論研究幾何變換的新道路．

　　柯西也對群尤其是置換群的研究做出了重要的貢獻．他的工作影響了著名的代數(shù)學(xué)家凱萊(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年發(fā)表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群從具體的對象(如數(shù)、置換)擴大到更一般的范圍，奠定了群論的理論基礎(chǔ)．

　　1872年，F(xiàn)．克萊因?qū)⑷赫撆c幾何學(xué)聯(lián)系起來，1873年李(M．S．Lie)引入連續(xù)群的概念，使群論與分析與幾何聯(lián)系在一起，從而產(chǎn)生了李群，李代數(shù)．19世紀(jì)對群論做出貢獻的數(shù)學(xué)家還有西羅(L．Sylow，1832—1918)、弗羅伯尼(F．G．Frobenius，1849—

　　尤其重要的是，1849年物理學(xué)家、礦物學(xué)家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通過研究行列式為±1的三個變量的線性變換現(xiàn)32類對稱的分子結(jié)構(gòu)．他的研究開創(chuàng)了群論在物理中尤其是物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論中的應(yīng)用，而且這種應(yīng)用越來越廣．這樣，群論就迅速為人們所承認(rèn)，進入數(shù)學(xué)的中心，并且一度使人們認(rèn)為分析、幾何、物理學(xué)可以通過群論統(tǒng)一起來．的確，群論作為從純數(shù)學(xué)方程中研究所產(chǎn)生的成果，能夠在幾何、分析，尤其是在具體的物質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)中得到應(yīng)用，不僅使得其理論本身成了蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域，而且沖擊了人們對數(shù)學(xué)的固有觀念，甚至沖擊了人們的世界觀．

二、四元數(shù)與向量

　　在1830年時，復(fù)數(shù)用于表示平面上的向量已眾所周知．但復(fù)數(shù)只能表示在同一個平面上物體受力的情況．如果作用于一個物體上的幾個力不在一個平面上，那么又該怎樣表示呢？

　　1837年，哈密頓首先引進有序偶(a， b)來表示復(fù)數(shù)a＋bi，通過有序偶，他把復(fù)數(shù)的神秘性完全排除了．通過有序偶，對于兩個復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di，他這樣定義復(fù)數(shù)的運算：

(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，

(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，

　　這樣，復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展與邏輯發(fā)展就得到了統(tǒng)一．

　　既然有序偶(a，b)表示的二維復(fù)數(shù)可以表示同一個平面的力，因此很自然地，哈密頓和許多人都試圖尋找三維復(fù)數(shù)表示空間的力．他發(fā)現(xiàn)，要求三維復(fù)數(shù)具有當(dāng)時所發(fā)現(xiàn)的數(shù)(從自然數(shù)到復(fù)數(shù))所具有的乘法交換性，總是辦不到，而且三維復(fù)數(shù)(a，b，c)無論如何也不能唯一地表示出空間的力．他長期為這個問題所困擾，苦思冥想長達(dá)十幾年，但一無所獲．

　　1843年10月16日黃昏，哈密頓攜夫人一道去都柏林作為會長主持愛爾蘭皇家學(xué)會會議，當(dāng)步行到勃洛翰格時，長期探求的內(nèi)容突然像一道閃電出現(xiàn)了，“此時此刻我感到思想的電路接通了．”他在一剎那間頓悟出，要用新數(shù)表示出空間向量，必須作出兩點讓步：一是新數(shù)必須含有四個分量(1，i，j，k)；二是必須犧牲乘法交換律．他把這種新的數(shù)

a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d為實數(shù))

　　叫做四元數(shù)，寫成有序偶的形式為(a，b，c，d)．對于基本分量的乘法，他定義為：

　　兩個四元數(shù)a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多項式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍為一四元數(shù)．他通過有序偶給出了四元數(shù)的加法與乘法：

　　(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，

　　(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，

　　af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，

　　四元數(shù)進行乘法運算時，交換律不再成立，如

　　j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq- -111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．

　　在數(shù)學(xué)史上，第一次出現(xiàn)了乘法交換律不成立的實例．

　　在數(shù)學(xué)史乃至科學(xué)史上，四元數(shù)的產(chǎn)生是靈感導(dǎo)致偉大發(fā)明的極好例證．

　　四元數(shù)的發(fā)明在方法論上也是富有啟示的．首先是通過類比導(dǎo)致了哈密頓等人去尋求三維復(fù)數(shù)，但長期的錯誤類比困惑了人們相當(dāng)長的時期．突然，一道思維的閃電將這種束縛擊破，從而導(dǎo)致了四元數(shù)的發(fā)明．

　　長期以來，我們只注意了群論的產(chǎn)生對代數(shù)學(xué)的沖擊，而忽視了四元數(shù)對代數(shù)學(xué)的影響．

　　正如非歐幾何創(chuàng)立以前人們認(rèn)為歐氏幾何是唯一的、不可更改的幾何一樣，經(jīng)過皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的總結(jié)，到19世紀(jì)四十年代，數(shù)學(xué)界普遍接受的是下述代數(shù)公理：

　　1．等量各加上第三個等量得到等量；

　　2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法結(jié)合律)；

　　3．a(chǎn)＋b＝b＋a (加法交換律)；

　　4．等量加等量給出等量；

　　5．等量加不等量給出不等量；

　　6．a(chǎn)(bc)＝(ab)c (乘法結(jié)合律)；

　　7．a(chǎn)b＝ba (乘法交換律)；

　　8．a(chǎn)(b＋c)=ab＋bc (乘法對加法的分配律)．

　　那時數(shù)學(xué)家們把上述公理看作是自古不變的，認(rèn)為存在與一般的代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的．試圖作乘法的交換律不成立的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，不僅沒有人會那樣想，就是有人想出來了，也會被認(rèn)為是異端邪說，a×b≠b×a，這太與常識相悖了．哈密頓也就是長期不敢相信這個事實，但他終于邁出了這一步．

　　現(xiàn)在有了四元數(shù)，其中乘法交換律不成立，而結(jié)合律等成立，同時又能發(fā)展出一套有用的理論體系，而且在邏輯上前后一致．這就使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到：可以構(gòu)造一個有意義的、有用的數(shù)系，它可以不具有實數(shù)和復(fù)數(shù)的交換法．人們可以考慮偏離實數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)的自由創(chuàng)造．這樣，四元數(shù)就使得人們認(rèn)識到：代數(shù)學(xué)的公理是可以改變的，不僅交換律，就是其他運算規(guī)則如結(jié)合律等也可以不滿足．可以構(gòu)造各種各樣的代數(shù)，而上述公理可以一個或幾個不成立，這樣就有大量的系統(tǒng)能夠研究了，從而使代數(shù)學(xué)第一次達(dá)到了可以“自由”研究的程度．從邏輯上完全可以這樣認(rèn)為，群論可以在四元數(shù)引起代數(shù)的這些變化之后作為一個系統(tǒng)來研究，今天大多數(shù)群論的教材就反映了這一點．

　　1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元數(shù)推廣到n元數(shù)組，使每一個數(shù)組(x1，x2，…，xn)與一個x1e1＋x2e2＋…＋xnen這樣形式的結(jié)合代數(shù)相聯(lián)系，建立了該代數(shù)的基本單位e1，e2，…，en的乘法表，并由此建立了n維空間的概念，這樣就把通常的二、三維解析幾何坐標(biāo)推廣成n個，建立了相應(yīng)的n維仿射空間和度量空間的幾何學(xué)．這是代數(shù)、幾何學(xué)上的重大突破，在這方面格拉斯曼幾采與哈密頓齊名．

　　1843年，凱萊也引入了n維空間的概念，1854年他又給出了八元數(shù)——稱為凱萊數(shù)：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)創(chuàng)立了擬四元數(shù)q+wQ(q，Q是四元數(shù)，w2=-1)．等等．

　　面對這樣多新涌現(xiàn)出來的代數(shù)，人們開始思索，自由創(chuàng)造的數(shù)學(xué)都能具有哪些性質(zhì)？1857年，有人證明，在R上可除代數(shù)僅有的可能性是維數(shù)為1，2，4，8的代數(shù)，即實數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)和凱萊數(shù)．1878年，弗羅伯尼證明了，具有有限個原始單元的、有乘法單位元素的實系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如服從結(jié)合律，則只有實數(shù)、復(fù)數(shù)和實四元數(shù)的代數(shù)．魏爾斯特拉斯在1861年證明了，有有限個原始單元的，實或復(fù)系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如服從乘積定律和乘法交換律，就是實數(shù)和復(fù)數(shù)的代數(shù)．赫爾維茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)證明了實數(shù)、復(fù)數(shù)、實四元數(shù)和擬四元數(shù)是僅有的滿足乘法定律的線性結(jié)合代數(shù)，哈密頓要是早知道這一點，他就不會徒勞無益地花十幾年功夫?qū)で笕S復(fù)數(shù)了．這些定理告訴人們，任意創(chuàng)造新的代數(shù)系統(tǒng)與保持某些代數(shù)性質(zhì)是相互制約的．

　　哈密頓、格拉斯曼、凱萊等人，以推出不同于傳統(tǒng)代數(shù)的遵守某種結(jié)構(gòu)規(guī)律的代數(shù)方法，而開創(chuàng)了現(xiàn)代抽象代數(shù)的研究．減弱或者去掉普通代數(shù)的各種假定，或像非歐幾何一樣將其中一個或多個假定代之以其他的假定，就可以出現(xiàn)多種可供人們研究的體系．按照這種方法，我們可以得到群、半群、環(huán)、整環(huán)、格、除環(huán)、布爾環(huán)、域、若爾當(dāng)代數(shù)、李代數(shù)，等等．這種方法無疑地得益于四元數(shù)發(fā)明后產(chǎn)生的思想．20世紀(jì)的抽象代數(shù)已成為數(shù)學(xué)的主流之一，這些都應(yīng)該追溯到四元數(shù)．

　　四元數(shù)在向量分析的發(fā)展中起了重要作用，直接導(dǎo)出了向量分析．哈密頓本人把四元數(shù)a＋bi＋cj＋dk分為兩部分：實部和他稱之為向量的復(fù)數(shù)部(a Complex Pant)．兩個向量按照四元數(shù)的運算法則所得出的乘積同樣具有實部和向量部分．設(shè)

　　

　　

　　他記實部(數(shù)量部分)為Sαα′、向量部分為Vαα′．如果把α，α′看作兩個向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，則有

Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．

　　這樣，向量分析的基本公式(數(shù)積和叉積)借助四元數(shù)就被確定了．著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋(J．Maxwell，1831—1879)在處理電、磁的有關(guān)問題時，曾明確指出，規(guī)定一個向量需用三個分量，這三個量能解釋成沿三個坐標(biāo)軸的長度，并且強調(diào)說，這個向量概念就是

　

　　當(dāng)它作用于點函數(shù)u(x，y，z)時，產(chǎn)生向量

　　

　　

　　　

　

　　　

　　在哈密頓工作的基礎(chǔ)上，19世紀(jì)80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希維賽德(O．Heavside，1850—1925)開創(chuàng)了向量分析這門新的數(shù)學(xué)分支，為物理學(xué)提供了十分有益的工具．他們兩人提出，一個向量不過是四元數(shù)的向量部分，但獨立于任何四元數(shù)，向量

c為實數(shù)，稱為分量．規(guī)定

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本文編號：120845