發(fā)布時間：2017-10-17 07:25

  本文關(guān)鍵詞：理論物理

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理論物理極礎(chǔ)1. 經(jīng)典物理的本性

路邊兩個累壞的人，萊尼說：“喬治，給我講講物理吧”。喬治用手捋著胡子，說：“好的，萊尼，我用最少的內(nèi)容給你講講物理最核心的理論思想”

什么是經(jīng)典物理

經(jīng)典物理（臺灣稱之為古典物理）指的是量子物理之前的物理，包括牛頓運動方程、麥克斯韋和法拉第的電磁場理論和愛因斯坦的相對論。經(jīng)典物理不僅僅是具體現(xiàn)象的具體理論，還是一套原理和規(guī)則——所有不含量子不確定性現(xiàn)象背后的邏輯。這些一般規(guī)則稱為經(jīng)典物理。（注：原文這里是Classical Mechanics，中文里Mechanics翻譯成力學(xué)，但是在英文，Mechanics的意思是How things go，Mechanics很多情況下與Physics是同義語。）

經(jīng)典物理學(xué)的任務(wù)是預(yù)言未來。18世紀偉大的物理學(xué)家拉普拉斯說過如下著名的話：

我們可以把宇宙的當(dāng)前狀態(tài)看做過去狀態(tài)的后果和未來狀態(tài)的起因。一位智者如果知道某個時刻驅(qū)動自然運動的所有的力和自然所有組成的位置，如果這位智者還有強大的能力對這些數(shù)據(jù)進行分析，則宇宙從龐然大物到細微原子，萬物的所有運動都包含在一個公式里。對于這位智者來說，沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，呈現(xiàn)在眼前。

在經(jīng)典物理里，如果你知道某系統(tǒng)在某個時刻的一切，你還知道系統(tǒng)演化的方程，你就可以預(yù)言系統(tǒng)的未來，即經(jīng)典物理學(xué)定律是決定論的。如果把過去和未來顛倒，我們看到的現(xiàn)在是一樣，則系統(tǒng)演化的方程還可以告訴我們系統(tǒng)的過去。即經(jīng)典物理研究里，系統(tǒng)是可逆的。

簡單動力系統(tǒng)和態(tài)空間

粒子、場、波等諸如此類的研究對象的集合稱為系統(tǒng)。整個宇宙，或從周圍一切分割開來感受不到其他存在的一個系統(tǒng)，都稱為封閉系統(tǒng)。

練習(xí)1： 這個概念在理論物理里非常重要，讓我們思考一下，封閉系統(tǒng)到底是什么，是否存在。建立一個封閉系統(tǒng)，暗含哪些假設(shè)？什么又是開放系統(tǒng)？

要理解什么是決定論和可逆，我們從一些極其簡單的封閉系統(tǒng)談起。這些系統(tǒng)比理論物理通常研究的系統(tǒng)要簡單很多，但是遵循經(jīng)典物理的基本規(guī)則。想象一個抽象的物體，只有一個狀態(tài)，比如粘在桌面上的正面朝上的硬幣。在物理學(xué)的行話里，一個系統(tǒng)可以存在的所有的狀態(tài)叫做態(tài)空間。態(tài)空間不是通常的我們生活的空間，態(tài)空間是一個數(shù)學(xué)集合，其元素是系統(tǒng)可能的狀態(tài)。這里，態(tài)空間只有一個點，即正面朝上（記作H）。預(yù)言這個系統(tǒng)的未來非常簡單，任何觀測都只有一個結(jié)果，正面朝上。

再考慮一個簡單系統(tǒng)，態(tài)空間有兩個點，想象一個抽象的物體，只有兩個狀態(tài)，比如一個硬幣，可以正面朝上（記作H），也可以反面朝上（記作T），見圖 1。

在經(jīng)典物理里，我們認為，系統(tǒng)演化是連續(xù)的，沒有任何跳躍和中斷。很明顯，你不能使?fàn)顟B(tài)從H連續(xù)地變成T，在這種情況下，必須要有跳躍。我們可以假設(shè)時間也是跳躍的，比如按整數(shù)跳躍。這種不連續(xù)的演化，稱為頻閃。

一個隨時間演化的系統(tǒng)稱為動力學(xué)系統(tǒng)。一個動力學(xué)系統(tǒng)不僅要有一個態(tài)空間，還要遵循一定規(guī)則，這種規(guī)則稱為運動定律，或動力學(xué)定律。動力學(xué)定律能告訴我們當(dāng)前狀態(tài)之后的狀態(tài)。

一個簡單的動力學(xué)定律是，某個時刻不管處于何種狀態(tài)，下個時刻，狀態(tài)保持不變。在這種情況下，，系統(tǒng)演化歷史只有兩種情況：H H H H H H . . .，或 T T T T T T . . . 。如圖2所示，箭頭表示系統(tǒng)演化方向，從H指向H，從T指向T。預(yù)測系統(tǒng)未來非常簡單，系統(tǒng)初始狀態(tài)為H，則系統(tǒng)就保持為H，系統(tǒng)初始狀態(tài)為T，則系統(tǒng)就保持為T。

另一個動力學(xué)定律是，不管當(dāng)前處于何狀態(tài)，下一狀態(tài)與當(dāng)前狀態(tài)相反。如圖3所示，箭頭從H指向T然后再指向H。系統(tǒng)未來也容易預(yù)測。如果初始狀態(tài)為H，則系統(tǒng)演化史為：H T H T H T H T H T . . . 。如果初始狀態(tài)為T，則系統(tǒng)演化史為T H T H T H T H . . . 。

動力學(xué)定律可以寫成方程的形式。描述系統(tǒng)的變量稱為自由度。硬幣有1個自由度，用希臘字母\(\sigma\)表示，\(\sigma\)只有兩個可能的取值，分別為 \(\sigma=1\) 或 \(\sigma=-1\)，分別表示H或T。我們還可以用一個符號表示時間。如果系統(tǒng)隨時間連續(xù)演化，我們可以用字母 \(t\) 表示。這里是離散演化，我們用字母
\(n\) 表示時間，時刻為 \(n\) 時系統(tǒng)的狀態(tài)可以用 \(\sigma(n)\) 表示。

下面我們用方程表示前面所說的兩個定律。第一個定律可表示為如下方程：
\[\sigma(n+1)=\sigma(n)\]
表述的意思是，在時刻\(n\)不管系統(tǒng)處于何狀態(tài)，下一時刻系統(tǒng)仍然處于此狀態(tài)。

第二個定律可表示為如下方程：
\[\sigma(n+1)=-\sigma(n)\]
表示系統(tǒng)每個時間步換一次狀態(tài)。

以上兩個例子中，系統(tǒng)未來的狀態(tài)都由初始狀態(tài)絕對決定，因此兩個定律均為決定論性定律。經(jīng)典物理所有的基本定律都是決定論性定律。

下面我們做一些更有趣的例子，增大系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)目。收起硬幣，拿出色子。色子有6個可能的狀態(tài)。如圖4。

系統(tǒng)可能的定律的也多了，甚至難以用語言和方程表述，這時候我們可以用圖表示，如圖5就是一個動力學(xué)定律。圖5表示的意思是，色子的數(shù)值態(tài)每過一個時間步就增加1，數(shù)值態(tài)增加到6時，數(shù)值態(tài)在下一個時間步返回1，然后重復(fù)前述模式。這種模式稱為循環(huán)。如果系統(tǒng)初始狀態(tài)為3，則系統(tǒng)的演化歷史為：3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, . . . 。我們暫且稱此為動力學(xué)定律1。

圖6為動力學(xué)定律2。圖6看起來更亂，但邏輯上與圖5是一樣的，系統(tǒng)也是按一個循環(huán)走遍6個狀態(tài)。如果我們重新標(biāo)記系統(tǒng)的狀態(tài)，動力學(xué)定律2與動力學(xué)定律1就變得完全一樣了。

并不是所有的動力學(xué)定律都是一樣的，比如圖7所示的動力學(xué)定律3。這個定律有兩個循環(huán)，如果從一個循環(huán)開始，不會到達另外一個循環(huán)。但是，這個動力學(xué)定律也是完全決定論的。不管你從哪里開始，未來都是確定的。比如，從狀態(tài)2開始，系統(tǒng)的演化歷史將是：2, 6, 1, 2, 6, 1, . . .，你不會到達狀態(tài)5。如果初始狀態(tài)為5，系統(tǒng)的歷史將是：5, 3, 4, 5, 3, 4, . . . ，你不會到達6。

圖8所示的動力學(xué)定律4有3個循環(huán)。

對于這個有6個狀態(tài)的系統(tǒng)，還可以寫出許許多多其他可能的動力學(xué)定律。

練習(xí)2： 對于一個6態(tài)系統(tǒng)，你能想出一個一般的方法，給所有可能的定律進行分類嗎？ 不允許的規(guī)則：第-1定律

根據(jù)經(jīng)典物理的規(guī)則，不是所有的定律都是合法的。動力學(xué)定律只是決定論的還不夠，還必須可逆。

可逆在物理學(xué)語境里的意思由多種描述方式。最簡約的描述是，如果你扭轉(zhuǎn)所有箭頭，所得的定律也是決定論性的定律。另一種描述是，定律能預(yù)言未來，也能確定過去。如拉普拉斯所說：“對于智者來說，沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，呈現(xiàn)在眼前�！� 能想象一個定律預(yù)言未來是決定論的，而對確定過去不是決定論的？換句話說，能否構(gòu)造不可逆的定律？確實可以，如圖9。

圖9所示的定律，知道你現(xiàn)在的狀態(tài)，就能知道你下一個狀態(tài)。如果你處于狀態(tài)1，你將到達狀態(tài)2，然后到達狀態(tài)3，然后到達狀態(tài)2。這一定律對預(yù)言未來沒有疑義。但是對確定過去就不同了。假設(shè)你現(xiàn)在狀態(tài)2，之前你處于什么狀態(tài)？可能是狀態(tài)3，也可能是狀態(tài)1，根據(jù)圖9無法確定。就可逆性來說，更糟糕的是，沒有狀態(tài)能到達狀態(tài)1，狀態(tài)1沒有過去。圖9所示的定律是不可逆的，為經(jīng)典物理原理所禁止的情況。

把圖9的箭頭都扭轉(zhuǎn)，得到圖10所示的定律，該定律不能預(yù)言未來。

有一個簡單的規(guī)則能判斷一個圖表示的定律是否是決定論的可逆定律。如果每個狀態(tài)只有1個指向自己的箭頭，并且只有1個箭頭從自己指向外部，則此定律就是經(jīng)典物理里合法的決定論的可逆定律。我們的口號是：必須有個箭頭告訴你往哪里去，還必須有個箭頭告訴你從哪里來。

動力學(xué)定律必須是決定論的和可逆的，這條規(guī)則在經(jīng)典物理的地位如此核心，以致我們教這門課程的時候都忘了提。實際上，這條規(guī)則連個名字都沒有。我們本可以稱之為第一定律，可惜已經(jīng)有了兩條第一定律——牛頓第一定律和熱力學(xué)第一定律，甚至還有熱力學(xué)第零定律。這條規(guī)則只好稱為第負一定律，以體現(xiàn)其在所有物理學(xué)定律里無可置疑的最基礎(chǔ)的地位。第負一定律的內(nèi)容是信息守恒。信息守恒就是每個狀態(tài)都有一個箭頭指向自己，同時有個箭頭從自己向外指。信息守恒確保你能追溯到你所經(jīng)歷的狀態(tài)。

信息守恒不是通常的守恒定律。我們先離題討論一下具有無窮多狀態(tài)的系統(tǒng)，然后再討論守恒定律。

　具有無窮多狀態(tài)的系統(tǒng)的動力學(xué)定律

目前為止，我們舉的例子，態(tài)空間具有的可能狀態(tài)的數(shù)目是有限的。沒有理由認為沒有具有無窮多狀態(tài)的動力學(xué)系統(tǒng)。比如，無窮多離散點組成的一條線，像一條火車道，沿線分布無窮多火車站。想象某種標(biāo)記物按照某種規(guī)則從一個點跳到另一個點。為了描述這一系統(tǒng)，我們用整數(shù)標(biāo)記沿線的各點，就像我們前面用整數(shù)標(biāo)記時刻。因為我們已經(jīng)用符號\(n\)表示離散的時間步，我們用\(N\)表示沿線的各點。標(biāo)記物的歷史由函數(shù)\(N(n)\)表示，這個函數(shù)表示在時刻\(n\)標(biāo)記物處于線上第\(N\)個點。圖11給出這個相空間的一部分。

圖12給出這個系統(tǒng)的一條動力學(xué)定律，每個時間步，標(biāo)記物沿線的正方向走一個點。

這一定律是允許的，因為每個態(tài)都有指向自己的箭頭，同時也有從自己向外指的箭頭。這一定律可用如下方程表示：
\begin{equation}N(n+1)=N(n)+1 \label{eq:law1} \end{equation}

下面再舉幾條動力學(xué)定律，
\begin{equation} N(n+1)=N(n)-1 \label{eq:law2}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=N(n)+2 \label{eq:law3}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=N(n)^2 \label{eq:law4}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=(-1)^{N(n)}N(n)\label{eq:law5}\end{equation}

練習(xí)3： 以上四條規(guī)則中，哪些是經(jīng)典物理允許的動力學(xué)定律？

在方程\ref{eq:law1}中，從任何狀態(tài)開始，不管向未來走，還是向過去走，都可以到達其他任何一點，即此動力學(xué)定律有1個無限循環(huán)。而在方程\ref{eq:law3}中，從一個奇數(shù)\(N\)開始，你永遠不會達到一個偶數(shù)，即此動力學(xué)定律有2個無限循環(huán)。

我們還可以給系統(tǒng)增加不同性質(zhì)的狀態(tài)，制造更多的循環(huán)，如圖13所示。

在圖13中，如果我們從一個數(shù)字開始，我們只能沿上邊的線行進。如果我們從A或B開始，我們只在A、B循環(huán)。

循環(huán)與守恒律

如果態(tài)空間被分成幾個循環(huán)，系統(tǒng)就會呆在初始狀態(tài)所在的循環(huán)里。每個循環(huán)都有自己的動力學(xué)規(guī)則，但是都同是一個態(tài)空間的組成部分，因為它們描述同一個動力學(xué)系統(tǒng)。讓我們考慮一個具有3個循環(huán)的系統(tǒng)。如圖14所示，態(tài)1和態(tài)2分屬各自的循環(huán)，而態(tài)3和態(tài)4屬于同一個循環(huán)。

只要一個動力學(xué)定律把態(tài)空間分成幾個這樣的循環(huán)，系統(tǒng)就會記住從哪個循環(huán)開始演化的，這種記憶叫做守恒律。守恒律告訴我們，隨著時間的流逝，有些事情保持不變。為了定量討論守恒律，我們給每個循環(huán)一個數(shù)值，記作\(Q\)。在圖15所示的例子里，3個循環(huán)分別標(biāo)記為\(Q=+1\)、\(Q=-1\)和\(Q=0\)。不管\(Q\)值為多少，都不隨時間變化，因為動力學(xué)定律不允許系統(tǒng)從一個循環(huán)跳到另外一個循環(huán)。簡言之，\(Q\)守恒。

后面幾章，我們會研究時間和態(tài)空間都連續(xù)的問題。我們對簡單離散系統(tǒng)所做的討論都可以類比到更真實的系統(tǒng)。幾章之后，自會明白。

精確的極限

拉普拉斯可能對于預(yù)言世界過于樂觀了，即便在經(jīng)典物理范圍內(nèi)。他肯定也贊同，預(yù)言未來需要完全了解這個世界的動力學(xué)定律，還需要巨大的計算能力——他稱之為“智者有強大的能力對這些數(shù)據(jù)進行分析”。但是，還有一個因素拉普拉斯低估了：知道完全精確的初始條件的能力。想象一個具有100萬個面的色子，每個面都用差不多樣子的符號標(biāo)記，符號之間只有細微差別，這樣的符號需要100萬個。某個人如果知道了動力學(xué)定律，并且能夠認出初始的符號，那么這個人就能夠預(yù)言這個100萬面的色子的未來。但是，如果拉普拉斯的智者如果眼神不好，他預(yù)言未來的能力就受到限制。

真實世界中，情況會更糟。態(tài)空間中的點不僅僅巨多，而是無窮多，還是連續(xù)的。換句話說，態(tài)空間是粒子坐標(biāo)的實數(shù)集。實數(shù)非常密集，不管數(shù)值差別多小的兩個實數(shù)之間都還有無窮多的實數(shù)。能分辨的最小實數(shù)差即實驗的“分辨本領(lǐng)”，任何實驗的分辨本領(lǐng)都是有限的。原則上我們不會無限精確地知道初始條件。在絕大多數(shù)情況下，初始條件（即初態(tài)）的極細微的差別都會導(dǎo)致演化歷史有巨大差別。這種現(xiàn)象叫做叫做混沌。如果一個系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)（絕大多數(shù)系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)），則意味著不管分辨本領(lǐng)有多么強大，系統(tǒng)的可預(yù)測性也是有限的。絕對可預(yù)測性是無法達到的，原因很簡單，我們的分辨本領(lǐng)是有限的。

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