本文關(guān)鍵詞：非全局Lipschitz條件下隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的強(qiáng)收斂性和穩(wěn)定性，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：隨機(jī)微分方程在經(jīng)濟(jì)、生物、醫(yī)學(xué)、金融和工程等很多領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用。然而這類方程極少能得到解析解,因此很有必要構(gòu)造數(shù)值方法求解。本文構(gòu)造了兩類數(shù)值方法：分裂步(θ1,θ2,θ3)方法和高階分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,這些方法包含很多經(jīng)典的方法,如：Euler方法、分裂步θ方法、分裂步單支θ方法、隨機(jī)θ方法、向后Euler方法、分裂步向后Euler方法、Milstein方法、漂移分步向后Milstein方法和隨機(jī)θ-Milstein方法等。我們在非全局Lipschitz條件下,研究方法的強(qiáng)收斂性和均方穩(wěn)定性。論文分為六部分： 第一章,我們先介紹隨機(jī)微分方程、隨機(jī)延遲微分方程、帶泊松跳的隨機(jī)微分方程的應(yīng)用背景,回顧隨機(jī)問題數(shù)值分析的一些基本概念和常用不等式,然后概述數(shù)值方法收斂性研究現(xiàn)狀,并給出本文的工作概要。 第二章提出分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,對漂移項(xiàng)系數(shù)滿足單邊Lipschitz條件、擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性非自治系統(tǒng)研究方法的強(qiáng)收斂性,證明當(dāng)θ2≥1/2時(shí)方法是均方收斂的；如果漂移項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步滿足多項(xiàng)式增長條件,則其均方收斂階是1/2。同時(shí)還得到方法的均方穩(wěn)定性結(jié)果。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步將上述結(jié)果推廣到帶跳的隨機(jī)微分方程情形。 第三章在較弱條件下進(jìn)一步證明了補(bǔ)償分裂步(θ1,θ2,θ2)方法的強(qiáng)收斂性,更準(zhǔn)確的說,所要求的條件漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)都滿足局部Lipschitz條件、帶跳擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)滿足全局Lipschitz條件以及它們滿足一組合單調(diào)性條件。這些條件允許擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)是高度非線性的。 第四章把分裂步(θ1,θ2,θ3)方法擴(kuò)展到用于求解隨機(jī)延遲微分方程。在擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)和漂移項(xiàng)系數(shù)都滿足局部Lipschitz條件和組合條件下,我們得到該方法的強(qiáng)收斂性。特別地,這些條件允許擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)是高度非線性的。 第五章在前面方法基礎(chǔ)上提出高階分裂步(θ1,θ2,θ3)方法并用來求解由非交換噪聲驅(qū)動(dòng)的非自治隨機(jī)微分方程。在漂移項(xiàng)系數(shù)滿足多項(xiàng)式增長和單邊Lipschitz條件而擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)滿足線性增長的條件下,證明了該方法是1階強(qiáng)收斂的。 第六章研究高階分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的均方穩(wěn)定性。在適當(dāng)步長的限制下,得到高階分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的線性均方穩(wěn)定性和非線性均方指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果。隨后進(jìn)一步研究θ2=θ3的特殊情形,對實(shí)系數(shù)線性方程證明當(dāng)θ2≥3/2時(shí),高階分裂步(θ1,θ2,θ2)方法是無條件均方穩(wěn)定的；對漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)滿足一個(gè)較弱的組合條件的非線性方程,證明當(dāng)步長適當(dāng)小時(shí)方法是均方指數(shù)穩(wěn)定的。
【關(guān)鍵詞】：隨機(jī)微分方程 帶泊松跳的隨機(jī)微分方程 隨機(jī)延遲微分方程 分裂步(θ_1 θ_2 θ_3)方法 高階分裂步(θ_1 θ_2 θ_3)方法 強(qiáng)收斂性 均方穩(wěn)定性 均方指數(shù)穩(wěn)定性
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：C81
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 緒論10-22
• 1.1 研究背景及來源10-13
• 1.2 基本概念和公式13-16
• 1.3 隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的收斂性分析16-17
• 1.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法17-18
• 1.5 本文的主要工作18-22
• 2 非線性非自治隨機(jī)微分方程的分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法22-52
• 2.1 引言22-23
• 2.2 隨機(jī)微分方程解的存在唯一性23-24
• 2.3 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的矩性質(zhì)24-27
• 2.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的強(qiáng)收斂性27-33
• 2.5 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的強(qiáng)收斂階33-37
• 2.6 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性37-39
• 2.7 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法求解泊松跳隨機(jī)微分方程39-41
• 2.8 數(shù)值實(shí)驗(yàn)41-46
• 2.9 本章小結(jié)46-52
• 3 單調(diào)條件下補(bǔ)償分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的收斂性52-64
• 3.1 引言52-53
• 3.2 帶泊松跳的隨機(jī)微分方程解的存在唯一性53-55
• 3.3 補(bǔ)償分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法矩性質(zhì)55-57
• 3.4 補(bǔ)償分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的收斂性57-62
• 3.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)62-63
• 3.6 本章小結(jié)63-64
• 4 非線性隨機(jī)延遲微分方程的分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法64-80
• 4.1 引言64
• 4.2 隨機(jī)延遲微分方程解的存在唯一性64-67
• 4.3 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的矩性質(zhì)67-69
• 4.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的強(qiáng)收斂性69-75
• 4.5 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的指數(shù)均方穩(wěn)定性75
• 4.6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)75-78
• 4.7 本章小結(jié)78-80
• 5 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的收斂性80-120
• 5.1 引言80-81
• 5.2 隨機(jī)微分方程解的存在唯一性81-82
• 5.3 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的矩性質(zhì)82-96
• 5.4 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的收斂階96-110
• 5.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)110-118
• 5.6 本章小結(jié)118-120
• 6 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的穩(wěn)定性120-132
• 6.1 引言120
• 6.2 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的線性均方穩(wěn)定性120-122
• 6.3 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的非線性均方指數(shù)穩(wěn)定性122-124
• 6.4 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的線性均方穩(wěn)定性124-126
• 6.5 高階分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的非線性均方指數(shù)穩(wěn)定性126-129
• 6.6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)129-131
• 6.7 本章小結(jié)131-132
• 7 總結(jié)與展望132-133
• 致謝133-134
• 參考文獻(xiàn)134-142
• 攻讀學(xué)位期間發(fā)表和完成的論文目錄142

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4 徐嗣h

本文編號：256111