本文關(guān)鍵詞：線性糾錯(cuò)碼的若干問題研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：有限域上的指數(shù)和不僅是數(shù)論中一個(gè)基本的研究對(duì)象,而且在編碼和密碼學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。本文將利用有限域上的指數(shù)和決定分圓序列的線性復(fù)雜度和極小多項(xiàng)式,以及幾類循環(huán)碼的重量分布,給出常循環(huán)碼滿足厄爾米特對(duì)偶包含關(guān)系的一個(gè)方法,進(jìn)而構(gòu)造量子MDS碼(即,極大距離可分碼)。本文的主要研究成果包括如下三部分。首先,設(shè)p和l為不同的奇素?cái)?shù),l≠2,3,e是p-1的一個(gè)因子。我們計(jì)算有限域Fl上階數(shù)為e=3,4,6的高斯周期的值。作為其應(yīng)用,我們構(gòu)造有限域F,上幾類階數(shù)分別為e=3,4,6的分圓序列,給出這些分圓序列的線性復(fù)雜度和極小多項(xiàng)式,再通過分圓序列的極小多項(xiàng)式來構(gòu)造幾類有限域Fl上長(zhǎng)度為p的循環(huán)碼。當(dāng)滿足一些特定條件時(shí),我們給出分圓序列對(duì)應(yīng)循環(huán)碼的極小距離的下界。當(dāng)l=3時(shí),我們也給出幾類三元廣義分圓序列的線性復(fù)雜度和極小多項(xiàng)式。其次,設(shè)Fq為g元有限域,其中g(shù)為素?cái)?shù)的冪。設(shè)Fr為Fq的一個(gè)擴(kuò)域,其中r=qm,α為有限域Fr的本原元。假設(shè)n=n1m2滿足gcd(n1,n2)=1且n|r-1。記N1=(r-1)/n1,n2-(r-1)/n2,g1=αN1, g2=αN2,g=g1g2。定義Fg上循環(huán)碼為c={c(a,b)=(Trr/q(a+b),Trr/q((ag1+bg),…,Trr/q(ag1n-1+bgn-1)):a,b∈Fr},其中Trr/q表示Fr到Fq的跡映射。我們利用有限域上指數(shù)和的值分布表示上述循環(huán)碼的重量分布,特別地,這類循環(huán)碼包含一類二重循環(huán)碼和一類三重循環(huán)碼。最后,由厄爾米特(Hermite)構(gòu)造法,可以利用有限域上滿足厄爾米特對(duì)偶包含條件的常循環(huán)碼來構(gòu)造量子極大距離可分碼。本文給出常循環(huán)碼滿足厄爾米特對(duì)偶包含關(guān)系的一個(gè)方法,運(yùn)用此方法,不僅能夠得到一些已知參數(shù)的量子MDS碼,而且可以得到幾類具有新參數(shù)的量子MDS碼。
【關(guān)鍵詞】：有限域 指數(shù)和 高斯周期 序列 循環(huán)碼 重量分布 常循環(huán)碼 量子碼
【學(xué)位授予單位】：南京航空航天大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O157.4
【目錄】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-10
• 第一章 緒論10-24
• 1.1 引言10-11
• 1.2 循環(huán)碼理論及其研究現(xiàn)狀分析11-14
• 1.3 量子糾錯(cuò)碼及其研究現(xiàn)狀14-15
• 1.4 本文的主要工作15-24
• 第二章 編碼理論基礎(chǔ)24-35
• 2.1 指數(shù)和24-26
• 2.2 序列26-27
• 2.3 常循環(huán)碼基本概念27-31
• 2.4 量子碼基本概念31-35
• 第三章 高斯周期、分圓序列和循環(huán)碼35-60
• 3.1 有限域F_l上的高斯周期35-44
• 3.1.1 F_l上3階高斯周期38-39
• 3.1.2 F_l上4階高斯周期39-43
• 3.1.3 F_l上6階高斯周期43-44
• 3.2 有限域F_l上低階分圓序列的線性復(fù)雜度44-49
• 3.2.1 三階分圓序列45-46
• 3.2.2 四階分圓序列46-48
• 3.2.3 六階分圓序列48-49
• 3.3 由分圓序列構(gòu)造的循環(huán)碼49-52
• 3.4 F_3上六階廣義分圓序列的線性復(fù)雜度及BCH碼52-60
• 3.4.1 F_3上六階廣義分圓序列的線性復(fù)雜度52-58
• 3.4.2 六階廣義分圓序列對(duì)應(yīng)的BCH碼58-60
• 第四章 具有兩個(gè)非零點(diǎn)循環(huán)碼的重量分布60-74
• 4.1 循環(huán)碼的重量分布60-65
• 4.2 幾類循環(huán)碼的重量分布65-74
• 第五章 由常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼74-99
• 5.1 引理和預(yù)備知識(shí)74-78
• 5.2 量子碼的構(gòu)造78-91
• 5.2.1 en|q~2-1情形78-83
• 5.2.2 en|q~4-1,en|q~2-1情形83-91
• 5.3 長(zhǎng)度為(q~2-1)/11的新的量子碼91-93
• 5.4 長(zhǎng)度為(q~2+1)/5的新的量子碼93-99
• 第六章 總結(jié)與展望99-101
• 參考文獻(xiàn)101-107
• 致謝107-108
• 在學(xué)期間的研究成果及發(fā)表的學(xué)術(shù)論文108-109
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表（錄用）論文情況108-109
• 攻讀博士學(xué)位期間參加科研項(xiàng)目情況109

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