【摘要】：本文研究了衍射光柵問題、手性光柵問題和非線性光柵問題的自適應(yīng)DtN有限元方法。首先,通過引進(jìn)DtN邊界條件,幾種光柵問題在有界區(qū)域上的變分式分別被給出來。在我們方法中,不像完全匹配層技巧那樣,需要在計(jì)算區(qū)域周圍額外強(qiáng)加一層人工區(qū)域,我們只需對(duì)非局部的DtN算子截?cái)唷Ｈ缓?我們給出相應(yīng)的有截?cái)郉tN算子的有限元格式。這里需要說明：對(duì)于一維光柵問題(包括線性、手性和非線性)和二維光柵問題,我們分別采用協(xié)調(diào)有限元離散和棱邊有限元離散。基于這幾種光柵問題的數(shù)值格式,我們分別導(dǎo)出了它們的后驗(yàn)誤差估計(jì)。在我們的數(shù)值算法中,被截?cái)嗟腄tN算子不收斂于原DtN算子。然而,在被截?cái)嗟腜ML問題中,相應(yīng)的DtN算子指數(shù)收斂到原DtN算子,那么在自適應(yīng)PML方法中的后驗(yàn)誤差分析的技巧自然不能直接運(yùn)用到我們的自適應(yīng)DtN方法中去。為了克服這個(gè)困難,我們?cè)诤篁?yàn)誤差分析中運(yùn)用了類似于對(duì)不定問題的先驗(yàn)誤差分析中的對(duì)偶(或Schatz)論證技巧,而且對(duì)對(duì)偶問題的解只要求是弱解不需要像先驗(yàn)誤差中要求有更高的正則性。這些光柵問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)都是由兩部分組成：有限元離散誤差和邊界算子的截?cái)嗾`差,其中,截?cái)嗾`差隨截?cái)鄥?shù)是指數(shù)衰減的。對(duì)于一維線性光柵和手性光柵問題,基于后驗(yàn)誤差估計(jì),我們建立了自適應(yīng)DtN有限元算法,使得通過截?cái)嗾`差確定截?cái)鄥?shù),同時(shí),通過有限元離散誤差確定網(wǎng)格中需要局部加密的單元。最后,通過數(shù)值算例進(jìn)一步說明了我們自適應(yīng)DtN算法的可行性。特別需要指出：對(duì)于一維線性光柵問題,我們算法在數(shù)值計(jì)算中的表現(xiàn)完全比得上自適應(yīng)PML算法。
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O436.1

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本文編號(hào)：2801753