眾所周知,非線性微分方程解析解和對(duì)稱的研究一直是熱門課題,這些研究有助于解釋一些重要的物理現(xiàn)象.本文以幾類非線性微分方程為研究對(duì)象,基于Bell多項(xiàng)式和Hirota雙線性方法構(gòu)造幾種不同的解析解,并且分析這些解的傳播特點(diǎn);借助對(duì)稱理論和Painlev′e截?cái)嗾归_法,建立方程的非局域?qū)ΨQ及守恒律.第一章,簡(jiǎn)要介紹了孤立子理論知識(shí)及相關(guān)方法的研究背景及意義,并給出了本文將要研究的主要內(nèi)容.第二章,首先介紹了Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)和Bell多項(xiàng)式的一些預(yù)備知識(shí),然后成功得到了（3+1）維Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的雙線性表達(dá)式,并且找到了該方程的孤子解.借助獲得的雙線性形式,通過發(fā)展homoclinic呼吸測(cè)試法,分別構(gòu)造了（3+1）維KP方程和（3+1）維廣義非線性方程的呼吸波解及怪波解.此外,我們發(fā)現(xiàn)一種有趣的現(xiàn)象,即在某種特定條件下,呼吸波解是可以退化成為怪波解的.第三章,基于Hirota雙線性方法獲得了廣義（3+1）維Kadomtsev-PetviashviliBoussinesq（KP-Boussinesq）方程、（2+1）維Korteweg-de V... 

【文章來源】：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)江蘇省 211工程院校 教育部直屬院校

【文章頁(yè)數(shù)】：103 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：碩士

【部分圖文】：

–1方程(2.1)在參數(shù)條件1=1=1====1,1=0.5,====

碩士學(xué)位論文把(1)代入方程(2.27),有(2)=1+2+12.(2.35)當(dāng)=1時(shí),可有2=1+1+2+1+2+12.(2.36)綜上,方程(2.1)的2-孤子解為(,,,)=2[ln(1+1+2+1+2+12)],(2.37)且滿足=++++,(=1,2),=1(4+2+2+2+++),(=1,2),12=(12)(12)+(12)4+(12)2+(12)2+(1(1+2)(1+2)+(1+2)4+(1+2)2+(1+2)2+(1+2)2+(12)(12)+(12)(12)+(12)(12)2)2+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2).(2.38)圖2–2方程(2.1)在參數(shù)條件1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2下所對(duì)應(yīng)的2-孤子解(2.37)的圖像,其中()立體圖;()俯視圖;()沿軸的波傳播形式.Figure2–2Two-solitonsolution(2.37)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.為了更好的理解方程(2.1)的孤子解的動(dòng)態(tài)行為,我們通過選取合適的參數(shù)作圖2-1和圖2-2.2.3.3呼吸波解為了構(gòu)造方程(2.1)的呼吸波解,首先考慮變換=0+2[ln()],(2.39)10

碩士學(xué)位論文12=12[2+2+(21)+2+22+120+(21)],21=4442142+414+41240162222+2+260+422.(2.44)方程(2.42)又可以被重寫為另一種形式=2√2cosh[(+1)+12ln2]+1cos[(++2)],(2.45)再把方程(2.45)代到方程(2.39),得到方程(2.1)的homoclinic呼吸波解(,,,)=0+22[4221+41√2sinh(1+12ln2)sin(2)][2√2cosh(1+12ln2)+1cos(2)]2,(2.46)其中1=(+1),2=(++2).顯然,方程(2.46)中的是homoclinic呼吸波,并且當(dāng)→∞,0將會(huì)趨向于一個(gè)固定的點(diǎn),此時(shí)是homoclinic波.同時(shí),值得注意的是homoclinic呼吸波是homoclinic波和呼吸波相互作用的結(jié)果.為了更好的理解其特點(diǎn),選取兩組參數(shù)作圖2-3和圖2-4.如下圖所示,homoclinic呼吸波的傳播具有周期性,不僅沿著時(shí)間軸周期性傳播而且在空間中也是周期性傳播.圖2–3方程(2.1)在參數(shù)條件0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1下所對(duì)應(yīng)的homoclinic呼吸波解(2.46)的圖像,其中()立體圖;()俯視圖;()沿軸的波傳播形式.Figure2–3Homoclinicbreatherwavesolution(2.46)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.2.3.4怪波解考慮2=1,即ln2=0,則解(2.46)重新被表示為=0+22(421+41sinh[(+1)]sin[(++2)])(2cosh[(+1)]+1cos[(++2)])2.(2.47)12

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
[1]A KdV-Type Wronskian Formulation to Generalized KP, BKP and Jimbo–Miwa Equations[J]. 程麗,張翼.  Communications in Theoretical Physics. 2017(07)
[2]孤立子理論研究的意義[J]. 趙蓉.  知識(shí)經(jīng)濟(jì). 2010(07)
[3]Bcklund transformation, non-local symmetry and exact solutions for （2+1）-dimensional variable coefficient generalized KP equations[J]. Zhenya YAN Institute of Mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; e-mail: zhanghq@dlut. edu.cn.  Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation. 2000(01)

博士論文
[1]光孤子傳輸特性的解析研究[D]. 周勤.武漢大學(xué) 2014
[2]非線性微分方程的若干解析解方法與可積系統(tǒng)[D]. 田守富.大連理工大學(xué) 2012

碩士論文
[1]幾類非線性微分方程的非局域?qū)ΨQ和有理解及其演化特征的研究[D]. 董敏杰.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2019
[2]非線性微分方程的可積性與保對(duì)稱離散格式的研究[D]. 馬潘麗.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2016



本文編號(hào)：3384244