發(fā)布時間：2021-01-09 14:12

　　本文介紹了拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的推導(dǎo)方法。證明Poisson問題拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)表達(dá)式的有限元離散格式的一階收斂,并給出了對應(yīng)的數(shù)值例子。對平面彈性力學(xué)形狀設(shè)計問題,計算出形狀泛函的拓?fù)鋵?dǎo)數(shù),利用結(jié)合拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的水平集方法實現(xiàn)平面彈性結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化,并與傳統(tǒng)的水平集方法比較,發(fā)現(xiàn)結(jié)合拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的水平集方法更有效。 

【文章來源】： 吳泱煜 華東師范大學(xué)

【文章頁數(shù)】：42 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【部分圖文】：

原區(qū)域與擾動后區(qū)域θ

華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文x<ρ},得到擾動后的新區(qū)域ρ=\ˉBρ,原邊值問題限制在新區(qū)域上的解記作uρ。圖2.2挖洞后區(qū)域ρ考慮區(qū)域ρ上的目標(biāo)泛函J(ρ)=J(uρ)。J(ρ)關(guān)于有如下形式的展開：J(ρ)=J()+g(x)f(ρ)+o(f(ρ)),其中f(ρ)是一個與孔洞半徑ρ,以及問題的維數(shù)相關(guān)的正常數(shù)。展開式中函數(shù)g(x)提供了在x處挖洞后目標(biāo)泛函的變化信息。我們將g(x)定義為目標(biāo)泛函在上的拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)。當(dāng)目標(biāo)泛函J隨半徑ρ變動的下述極限存在時，拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)L也可以定義為:limρ→0J(ρ)J()|Bρ∩|,|Bρ∩|表示內(nèi)區(qū)域Bρ的測度。值得注意的是存在目標(biāo)泛函使得上述極限不存在，例如：J=ds.在下章可以看到不同的拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)方法是從不同角度的拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)定義出發(fā)。區(qū)域截斷方法和級數(shù)展開方法從拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的第一種定義出發(fā)。拓?fù)?形狀靈敏度方法則是由拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的第二種定義出發(fā)。5

第三章拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的推導(dǎo)方法3.1區(qū)域截斷法圖3.1區(qū)域截斷方法圖示在拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的定義中，目標(biāo)函數(shù)中隨ρ變動，包括邊值問題解uρ和積分區(qū)域ρ的變動。區(qū)域截斷法有效簡化了由于這種拓?fù)鋽_動帶來的計算復(fù)雜性。區(qū)域截斷法的思想是將變化的區(qū)域ρ拆成兩部分R和r，將拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的計算轉(zhuǎn)移到固定邊界BR上。對一定值R滿足R>ρ，如圖3.1記以x為圓心，半徑為R,ρ的圓分別為BR,Bρ。定義R=\ˉBR,ρ=\ˉBρ,r=ρ\R是以x為中心的環(huán)狀區(qū)域。以Poisson問題為例，找解uρ:ρ→R滿足uρ=0inρ,uρ·n=FonΓN,uρ=0onΓD,uρ·n=0onBρ.(3.1)定義邊界BR上的函數(shù)映射Tρ:H1/2(BR)→H1/2(BR)，Tρ(ψ)=vψρnBR.7


本文編號：2966805