本文通過數(shù)值模擬研究了二維隨機(jī)耦合Logistic映射、二維指數(shù)Logistic映射、二維調(diào)制耦合Logistic映射和分?jǐn)?shù)階立方映射等幾類非線性系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特征.第一章,介紹了混沌理論的發(fā)展歷史、基本理論和基本知識(shí),并簡(jiǎn)要介紹了本文研究的目的和意義,以及研究?jī)?nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn).第二章,通過數(shù)值模擬理論上分析了二維隨機(jī)耦合Logistic映射的混沌特征.當(dāng)系統(tǒng)的耦合系數(shù)滿足兩點(diǎn)分布時(shí),本文從相圖、Lyapunov指數(shù)的角度研究得出:當(dāng)耦合系數(shù)按照一定的概率在混沌和非混沌區(qū)間跳躍時(shí),系統(tǒng)可按周期分岔和Hopf分岔走向混沌.第三章,研究了高斯函數(shù)調(diào)制的指數(shù)Logistic映射的混沌特性.該映射具有多個(gè)自由度,這使其具有不同的混沌特性并且增加了在定量金融等模型中所需的靈活性.本章首先分析了映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性;其次,利用分岔圖、相圖和Lyapunov指數(shù)圖分析了系統(tǒng)的混沌行為.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在適當(dāng)?shù)膮?shù)空間內(nèi),指數(shù)Logistic映射能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.此外,本章還研究了耦合指數(shù)Logistic映射的混沌現(xiàn)象.第四章,傳統(tǒng)混沌映射具有參數(shù)范圍較窄、遍歷性較差等弱點(diǎn),并且關(guān)于混沌動(dòng)力學(xué)特征的研究大多僅考慮系統(tǒng)參數(shù)在定�？臻g內(nèi)變化.針對(duì)這些特點(diǎn),本章提出了一種調(diào)制耦合Logistic映射,主要思想是利用指數(shù)Logistic映射對(duì)傳統(tǒng)Logistic映射進(jìn)行調(diào)制,并將調(diào)制結(jié)果進(jìn)行耦合得到二維系統(tǒng).首先,與現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)相比,二維調(diào)制耦合Logistic映射具有更好的遍歷性;其次,本文理論上分析了二維調(diào)制耦合Logistic映射在定常參數(shù)空間內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特征.結(jié)果表明,二維調(diào)制耦合Logistic映射可按照倍周期分岔和Hopf分岔進(jìn)入混沌;最后,研究了參數(shù)隨機(jī)化時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.第五章,首先考慮具有分段常數(shù)元的立方映射,應(yīng)用離散化過程對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解,得到了分?jǐn)?shù)階立方映射.通過Lyapunov指數(shù)和分岔圖得出:分?jǐn)?shù)階立方映射可通過倍周期分岔進(jìn)入混沌,并且較于整數(shù)階形式下的立方映射,其混沌特征更加豐富.其次,為了更好的描述客觀事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,本章在立方映射表達(dá)式的基礎(chǔ)上考慮其時(shí)滯性,應(yīng)用離散化方法得到了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯立方映射.結(jié)果顯示,分?jǐn)?shù)階時(shí)滯立方映射所產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象,分岔節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值隨著階數(shù)發(fā)生變化.
【學(xué)位單位】：西華大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2020
【中圖分類】：O415.5
【部分圖文】：

幾種非線性系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)研究10圖2.1系統(tǒng)（2.2）在取常數(shù)時(shí)的分岔圖Fig.2.1Bifurcationgraphwithaconstantparameterinsystem(2.2)當(dāng)參數(shù)空間為定常時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化雖然與一維Logistic映射有略微的不同，但都是可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的．對(duì)于系統(tǒng)(2.2)，二維Logistic映射的動(dòng)力學(xué)行為是由耦合系數(shù)決定的，為了更好地研究耦合系數(shù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，現(xiàn)將式(2.2)改寫為211212()()nnnnnnnnnnxxxxyyyyyx,（2.3）其中，1，2為系統(tǒng)的耦合系數(shù)．實(shí)際上，當(dāng)12且為確定性的常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)(2.3)即為系統(tǒng)(2.2)，其相平面的軌道點(diǎn)關(guān)于yx對(duì)稱．2.2數(shù)值模擬與主要結(jié)果文獻(xiàn)[25]中研究了耦合系數(shù)在定常區(qū)間變化且12時(shí)二維Logistic映射的行為演化，但忽略了耦合系數(shù)受到擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為．在耦合系數(shù)為定常時(shí)，系統(tǒng)(2.2)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)是確定的，如果進(jìn)一步考慮環(huán)境等因素造成的耦合參數(shù)的隨機(jī)波動(dòng)，此時(shí)二維Logistic映射成為隨機(jī)耦合系統(tǒng)，1，2稱為隨機(jī)耦合系數(shù)．為簡(jiǎn)單起見，考慮隨機(jī)耦合系數(shù)1，2符合兩點(diǎn)分布，其中一個(gè)取值在非混沌區(qū)間，另一個(gè)取值在混沌區(qū)間．對(duì)于系統(tǒng)(2.3)，選取初始點(diǎn)為00(x,y)(0.4,0.5)，概率值p0,1．以下將分別利用相圖和Lyapunov指數(shù)圖來研究二維隨機(jī)耦合Logistic映射的混沌特征和演化規(guī)律．

幾種非線性系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)研究12圖2.2情形一時(shí)吸引子隨參數(shù)p的演化Fig.2.2Theevolutionoftheattractorswithparameterspinthefirstcase觀察奇怪吸引子的形成過程可以發(fā)現(xiàn)其具有以下特點(diǎn)：1）奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)不隨參數(shù)連續(xù)的變化，即整體結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生瞬變；2）由于軌道的無窮伸長(zhǎng)、壓縮和折疊，導(dǎo)致奇怪吸引子空間結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜；3）奇怪吸引子不一定填滿某一有限區(qū)域，而往往具有一些空隙或空洞的存在，這使得它具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)；4）從整體上來講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即吸引子外的一切運(yùn)動(dòng)最后都要收縮到吸引子上；但就局部而言，吸引子內(nèi)的運(yùn)動(dòng)又是不穩(wěn)定的，相鄰運(yùn)動(dòng)軌道要互相排斥而按指數(shù)分離．簡(jiǎn)單來說，奇怪吸引子簡(jiǎn)單來說就是相空間中無窮多個(gè)點(diǎn)的集合，是一種始終限于有限區(qū)域且軌道永不重復(fù)的、性態(tài)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)；它所具有的精細(xì)結(jié)構(gòu)在所有尺度上都存在，甚至在無窮長(zhǎng)時(shí)間極限下，吸引子也不會(huì)在相平面內(nèi)形成一個(gè)實(shí)體．它呈現(xiàn)為不規(guī)則軌線，這些點(diǎn)、線對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的混沌狀態(tài)．（2）Lyapunov指數(shù)分析借助1.2.2中提及的Jacobian矩陣法計(jì)算系統(tǒng)(2.3)的Lyapunov指數(shù)．二維Logistic映射可根據(jù)Lyapunov指數(shù)的符號(hào)來判斷系統(tǒng)的狀態(tài)：當(dāng)12,,，系統(tǒng)表現(xiàn)為奇怪吸引子；

幾種非線性系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)研究14隨著概率的增大，系統(tǒng)點(diǎn)的密度雖然圍繞極限環(huán)增加，但并沒有形成封閉空間．在p1時(shí)，情形一下系統(tǒng)由最開始的周期點(diǎn)逐漸演變?yōu)楹?jiǎn)單吸引子，而在情形二下，系統(tǒng)一開始表現(xiàn)為極限環(huán)，最終的表現(xiàn)狀態(tài)仍為極限環(huán)，而在中間狀態(tài)表現(xiàn)為混沌特征．結(jié)合兩種情況，總的來說，當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)從整體上來看是繞著一些大的空洞周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)既不做規(guī)則運(yùn)動(dòng)也不是雜亂無章的，因此這種運(yùn)動(dòng)既表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，但又不是完全隨機(jī)的．既可以將混沌描述為不具有周期現(xiàn)象的有序運(yùn)動(dòng)，形象化得說就是系統(tǒng)奇怪吸引子隨著參數(shù)變化時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡不會(huì)重復(fù)也不會(huì)相交，反之混沌也可以描述為具有一定的規(guī)律的無序運(yùn)動(dòng)．圖2.4情況二時(shí)吸引子隨參數(shù)p的演化Fig.2.4Theevolutionoftheattractorswithparameterspinthesecondcase（2）Lyapunov指數(shù)分析圖2.5為第二種情形下的指數(shù)圖，相較于第一種情況，Lyapunov指數(shù)呈現(xiàn)三個(gè)特征：首先是指數(shù)在統(tǒng)計(jì)意義上具有對(duì)稱性，這是由1，2的取值概率的對(duì)稱性決定的；其次，從圖中可見Lyapunov指數(shù)曲線基本符合12,(,)，即在0.1p0.9時(shí)，20恒成立，10幾乎也恒成立．由第一章混沌理論知識(shí)可知，系統(tǒng)在參數(shù)空間內(nèi)產(chǎn)生了較大的混沌區(qū)域；最后從圖2.5中可見，指數(shù)在中間段的波動(dòng)較兩端大，其原因除了由于混沌區(qū)中包含了不同周期的周期窗口以外，主要在于參數(shù)1，2的隨機(jī)波動(dòng)性．假設(shè)a0.67，b0.58，則每一次迭代中隨機(jī)變量取1a，2b的概率分別
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