Toeplitz矩陣在科學(xué)與工程的眾多領(lǐng)域中均有著廣泛的應(yīng)用,比如數(shù)字圖像與信號的處理,微分方程數(shù)值解以及排隊網(wǎng)絡(luò)等等.本文考慮兩個與Toeplitz矩陣有關(guān)的問題,對稱Toeplitz系統(tǒng)上的弱非線性方程組和空間分?jǐn)?shù)階非線性Schr(?)dinger方程.具體如下:對于含對稱Toeplitz系統(tǒng)的弱非線性方程組,通過分離線性項與非線性項,利用逆無關(guān)的預(yù)處理共軛梯度法(AIPCG),建立了以Picard迭代法作為外迭代的Picard-AIPCG迭代方法.其優(yōu)勢在于無需精確計算和存儲雅各比矩陣,只需解常系數(shù)矩陣的線性子系統(tǒng).因此在實際應(yīng)用中,大大縮減了計算量和存儲量.而且利用AIPCG迭代作為內(nèi)迭代的收斂速度非常快且不依賴于參數(shù).理論分析證明在給定條件下該方法是全局收斂的.數(shù)值實驗表明在特定情形下,Picard-AIPCG方法是可行且有效的.對于空間分?jǐn)?shù)階非線性Schr(?)dinger方程,使用隱式守恒差分離散后,原問題轉(zhuǎn)化成線性方程組,其系數(shù)矩陣為非負(fù)對角陣、對稱正定的Toeplitz矩陣和復(fù)的單位陣之和.基于交替迭代方法,本文提出了不對稱的分裂(LS)迭代方法和改進的平均移位分裂(MMS)迭代方法,并證明了其收斂性.此兩種迭代方法均需分別求解以對角矩陣和Toeplitz矩陣為系數(shù)矩陣的子系統(tǒng),從而可分別直接求解和快速求解上述兩個子系統(tǒng).此外,MMS迭代方法不需要額外計算最優(yōu)參數(shù).最后數(shù)值例子驗證了這兩種迭代方法的可行性與高效性.
【學(xué)位單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2020
【中圖分類】：O241.6
【部分圖文】：

華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文步,當(dāng)使用選法3時,不管哪一張圖,log∥F(x(k))∥的精度均最小.簡而言之,選法3在本例中最優(yōu).而且在例3.1中,Picard-AIPCG迭代法也剛好是在選法3的情況下表現(xiàn)最出色.因此,可以相信只要選取合適的內(nèi)迭代精度ηk,Picard-AIPCG迭代法就會有很好的表現(xiàn).圖3.1n=64時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.2n=128時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.3n=256時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.4n=512時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系22

華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文步,當(dāng)使用選法3時,不管哪一張圖,log∥F(x(k))∥的精度均最小.簡而言之,選法3在本例中最優(yōu).而且在例3.1中,Picard-AIPCG迭代法也剛好是在選法3的情況下表現(xiàn)最出色.因此,可以相信只要選取合適的內(nèi)迭代精度ηk,Picard-AIPCG迭代法就會有很好的表現(xiàn).圖3.1n=64時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.2n=128時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.3n=256時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.4n=512時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系22

華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文步,當(dāng)使用選法3時,不管哪一張圖,log∥F(x(k))∥的精度均最小.簡而言之,選法3在本例中最優(yōu).而且在例3.1中,Picard-AIPCG迭代法也剛好是在選法3的情況下表現(xiàn)最出色.因此,可以相信只要選取合適的內(nèi)迭代精度ηk,Picard-AIPCG迭代法就會有很好的表現(xiàn).圖3.1n=64時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.2n=128時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.3n=256時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系圖3.4n=512時內(nèi)迭代次數(shù)與非線性函數(shù)值范數(shù)的關(guān)系22
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本文編號：2872361