【摘要】：近些年,在力學和工程建模中,分數(shù)階微積分理論的應(yīng)用十分廣泛.分數(shù)階微積分能夠很好地刻畫復(fù)雜現(xiàn)象或材料中的記憶性和非局部性等特殊性質(zhì).本文主要研究的是兩類在雙層復(fù)合介質(zhì)中的時間分數(shù)階熱傳導模型:給出半無限區(qū)域內(nèi)分數(shù)階熱傳導正問題的解析解;構(gòu)造有界區(qū)域內(nèi)模型的有限差分格式;討論時間分數(shù)階傳熱模型中的參數(shù)估計問題.具體地:第一章為預(yù)備知識:在第一節(jié)中,主要介紹了分數(shù)階微積分的起源及發(fā)展史,給出了常用的Riemann-Liouville型和Caputo型分數(shù)階微積分的定義及一些簡單性質(zhì);在第二小節(jié)中,我們介紹了幾種特殊函數(shù)(Mittag-Leffler函數(shù)、Wright函數(shù)、Mainardi函數(shù)等);第三節(jié)則給出了分數(shù)階微積分中一些特殊函數(shù)的Laplace變換公式及其相互關(guān)系;在最后一小節(jié)中則介紹了一些分數(shù)階微積分的典型應(yīng)用.第二章,我們研究的是一類在雙層半無限復(fù)合介質(zhì)的分數(shù)階熱傳導問題.在前兩節(jié)中,簡要介紹了時間分數(shù)階傳熱問題的背景,并提出了一類在雙層復(fù)合介質(zhì)中時間分數(shù)階熱傳導問題的數(shù)學模型,給出了熱傳導方程:(?)(?)及初始條件和邊界條件.在第三節(jié)中給出了該方程的解析解,其解依賴于分數(shù)階階數(shù)α,β的關(guān)系:當αβ時在αβ時,解有一定的相似性,同時也給出了α = β這一特殊情況時的解析解表達式.第四節(jié)中,研究了分數(shù)階階數(shù)α、β的相關(guān)性問題,并利用最小二乘法和共軛梯度法對兩參數(shù)進行了估計.在最后一節(jié)中比較了兩種估計方法,并給了該章結(jié)論.第三章中,我們研究了在有界雙層復(fù)合介質(zhì)中的一類分數(shù)階熱傳導問題.第一節(jié)簡要介紹了數(shù)學模型.在第二節(jié)中,給出了基于有限差分方法得到的數(shù)值解.第三節(jié)則借助共軛梯度方法和Levenberg-Marquardt方法分別對其中階數(shù)進行了估計.同時給出了參數(shù)的靈敏度分析.本章結(jié)論則在第四節(jié)給出.第四章,我們給出本文總結(jié)和未來工作的展望.
[Abstract]:In recent years, fractional calculus theory has been widely used in mechanics and engineering modeling. Fractional calculus can well describe some special properties such as memory and nonlocality in complex phenomena or materials. In this paper, two kinds of time fractional heat conduction models in two-layer composite media are studied: the analytical solution of fractional heat conduction positive problem in semi-infinite region, the finite difference scheme of bounded domain model and the finite difference scheme are given. The problem of parameter estimation in time fractional heat transfer model is discussed. In the first section, the origin and history of fractional calculus are introduced, and the definitions and some simple properties of Riemann-Liouville type and Caputo type fractional calculus are given. In the second section, we introduce several special functions (Mittag-Leffler function, Wright function, Mainardi function, etc.), in the third section, we give the Laplace transformation formulas and their relations of some special functions in fractional calculus. In the last section, some typical applications of fractional calculus are introduced. In chapter 2, we study a class of fractional heat conduction problems in double-layer semi-infinite composite medium. In the first two sections, the background of time fractional heat transfer problem is briefly introduced, and a mathematical model of time fractional heat transfer problem in bilayer composite medium is proposed. The heat conduction equation is given as follows: (?) And initial conditions and boundary conditions. In the third section, the analytic solution of the equation is given. The solution depends on the relation of fractional order 偽, 尾: when 偽 尾 is in 偽 尾, the solution has certain similarity. At the same time, the analytic solution expression of 偽 = 尾 is also given. In the fourth section, the correlation of fractional order 偽, 尾 is studied, and the two parameters are estimated by least square method and conjugate gradient method. In the last section, two estimation methods are compared and the conclusion is given. In chapter 3, we study a class of fractional heat conduction problems in a bounded bilayer composite medium. The first section briefly introduces the mathematical model. In the second section, the numerical solution based on the finite difference method is given. In the third section, the order is estimated by conjugate gradient method and Levenberg-Marquardt method. The sensitivity analysis of the parameters is also given. The conclusion of this chapter is given in the fourth section. In the fourth chapter, we give the summary of this paper and the prospect of future work.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O411

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本文編號：2301242