【摘要】：'Quantitative stratification for some free-boundary problems' 這篇文章利用最近非常流行的量化分層(Quantitative stratification)技巧對(duì)單相自由邊界問(wèn)題中的自由邊界進(jìn)行量化分層,并且給出相應(yīng)'層'的Hausdorff測(cè)度估計(jì)。我論文的主要目的是理解該文章的證明思路,想法及相關(guān)技巧,補(bǔ)充文章證明中略去的細(xì)節(jié)并將該文章的結(jié)論推廣到雙相自由邊界問(wèn)題中。文章的主要技巧是量化分層,離散Reifenberg定理的運(yùn)用以及相應(yīng)的樹構(gòu)造:量化分層將處理對(duì)象由k對(duì)稱函數(shù)推廣到近k對(duì)稱函數(shù),從而適用性更強(qiáng),同時(shí)近k對(duì)稱函數(shù)也具有類似于k對(duì)稱函數(shù)好的性質(zhì);離散Reifenberg定理則在滿足球Weiss密度足夠大的前提下,給出了自由邊界非常好的測(cè)度估計(jì);而若離散Reifenberg定理所需要的條件不成立時(shí),我們則利用巧妙的樹構(gòu)造來(lái)推出最終結(jié)論。最后,我證明了單相自由邊界問(wèn)題的Weiss單調(diào)性公式可以推廣到雙相自由邊界問(wèn)題中,從而單相自由邊界的Hausdorff測(cè)度估計(jì)對(duì)雙相問(wèn)題也成立。
[Abstract]:This paper makes use of the recently popular quantized hierarchical (Quantitative stratification) technique to quantize the free boundary in single-phase free boundary problems, and gives the estimate of the Hausdorff measure of the corresponding 'layer'. The main purpose of my thesis is to understand the proof ideas, ideas and related techniques of this paper, to supplement the details of the proof and to extend the conclusion of this paper to the biphasic free boundary problem. The main skills of this paper are quantization stratification, the application of discrete Reifenberg theorem and the corresponding tree construction. Quantization stratification extends the processing object from k-symmetric function to near-k-symmetric function, so it is more applicable. At the same time, the near k-symmetric function is similar to the k-symmetric function, and the discrete Reifenberg theorem gives a very good estimate of the free boundary on the condition that the spherical Weiss density is large enough. If the condition required by discrete Reifenberg theorem is not valid, we use the ingenious tree structure to deduce the final conclusion. Finally, I prove that the Weiss monotonicity formula for the single-phase free boundary problem can be extended to the two-phase free boundary problem, so that the Hausdorff measure estimate of the single-phase free boundary problem is also valid for the biphasic problem.
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175.8

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本文編號(hào)：2149492