本文選題：分數(shù)階 + 非線性�。� 參考：《華東師范大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：眾所周知,非線性Schr(?)dinger方程在量子力學(xué)中占有十分重要的地位.近些年來,作為傳統(tǒng)Schr(?)dinger方程的推廣,分數(shù)階Schr(?)dinger方程受到越來越多的關(guān)注,特別是關(guān)于其數(shù)值求解方法的研究.在本文中,我們主要討論空間分數(shù)階非線性Schr(?)dinger方程的預(yù)處理方法,包括耦合和非耦合情形.經(jīng)過Crank-Nicolson差分離散后,得到一組復(fù)的非線性方程組.在用Newton方法求解時,每個迭代步都需要求解一個Jacobi矩陣線性方程組.本論文主要討論的就是這些線性方程組的預(yù)處理Krylov子空間迭代方法,具體工作如下:(1)對于非耦合的分數(shù)階非線性Schr(?)dinger方程,我們首先將原問題轉(zhuǎn)化為具有2 × 2分塊結(jié)構(gòu)的實線性方程組,然后利用此系數(shù)矩陣的特殊結(jié)構(gòu),提出了一類基于交替方向和循環(huán)矩陣的預(yù)處理方法,并做了理論分析.數(shù)值算例表明,這類預(yù)處理子具有很好的數(shù)值表現(xiàn).(2)針對耦合的分數(shù)階非線性Schr(?)dinger方程,我們采用類似的方法,將原問題轉(zhuǎn)化為4 × 4分塊結(jié)構(gòu)的實線性方程組.通過適當?shù)木仃嚪至?將其中具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的矩陣與其它矩陣分離開來,提出了相應(yīng)的交替方向預(yù)處理方法,并通過數(shù)值算例驗證了預(yù)處理方法的有效性.
[Abstract]:As we all know, nonlinear Schr(?)dinger equation plays an important role in quantum mechanics. In recent years, as a generalization of the traditional Schr(?)dinger equation, the fractional Schr(?)dinger equation has attracted more and more attention, especially the research on its numerical solution. In this paper, we mainly discuss the preprocessing methods of fractional order nonlinear Schr(?)dinger equations, including coupled and uncoupled cases. After Crank-Nicolson difference discretization, a set of complex nonlinear equations are obtained. When solving by Newton method, each iteration step needs to solve a Jacobi matrix linear equation system. In this paper, we mainly discuss the preprocessing Krylov subspace iterative method for these linear equations. The main work is as follows: 1) for the uncoupled fractional nonlinear Schr(?)dinger equations, We first transform the original problem into a real linear equation system with 2 脳 2 block structure. Then, by using the special structure of the coefficient matrix, we propose a kind of preprocessing method based on alternating direction and cyclic matrix, and do theoretical analysis. Numerical examples show that this kind of preprocessor has good numerical performance. (2) for the coupled fractional nonlinear Schr(?)dinger equation, we use a similar method to transform the original problem into a real linear system with 4 脳 4 block structure. The matrix with Toeplitz structure is separated from other matrices by proper matrix splitting, and the corresponding alternating direction preprocessing method is proposed, and the validity of the preprocessing method is verified by numerical examples.
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.6

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本文編號：1952988