近年來,基于分裂步思想求解隨機微分方程的龍格庫塔方法一直都倍受人們的廣泛關注。事實上,龍格庫塔方法是一種非常重要的求解微分方程的數(shù)值方法,而且?guī)最惓Ｒ姷碾[式龍格庫塔方法在求解微分方程時具有非常好的穩(wěn)定性。因此,研究運用龍格庫塔方法求解隨機微分方程的穩(wěn)定性受到了越來越多學者的青睞。注意到,為了提高龍格庫塔方法在求解隨機微分方程的穩(wěn)定性或穩(wěn)定區(qū)域,各種各樣的差分格式層出不窮,但是卻并沒有一種系統(tǒng)的方法去判斷一種隨機的龍格庫塔方法的穩(wěn)定性。于是,如何簡化判斷隨機龍格庫塔方法的穩(wěn)定性是一項值得深入研究的課題。本文主要研究一類具有普遍性的分裂步龍格庫塔方法,同時給出其在求解隨機微分方程時達到均方穩(wěn)定時的充分條件。值得注意的是,本文給出了一種運用龍格庫塔方法穩(wěn)定函數(shù)直接判斷隨機龍格庫塔方法穩(wěn)定性的結論。文章具體研究內容如下:首先研究了分裂步龍格庫塔方法求解線性隨機微分方程的均方穩(wěn)定性,并給出該方法為均方穩(wěn)定的充分條件。同時,基于上述充分條件,判斷了幾類常見的龍格庫塔方法在求解隨機微分方程時的均方穩(wěn)定性,給出了相應的證明。數(shù)值算例驗證了理論結果的有效性。其次,考慮到分裂步龍格庫特方法的穩(wěn)定性有待提高,本文提出了改進的分裂步龍格庫塔方法。給出改進后分裂步龍格庫塔方法的具體表現(xiàn)形式,并在此基礎上得到了該方法為均方穩(wěn)定的充分條件。同樣的,基于上述充分條件,判斷了幾類常見的龍格庫塔方法在求解隨機微分方程時的均方穩(wěn)定性,并給出了相應的證明。數(shù)值算例驗證了理論結果的有效性。最后,由非線性隨機微分方程應用的廣泛性與一般性,在改進的分裂步龍格庫塔方法的基礎上,加入了對非線性隨機微分方程的均方穩(wěn)定性的討論。通過分析證明同樣可以得到改進均方穩(wěn)定性的充分條件。數(shù)值算例驗證了理論結果的有效性。
【學位單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.82
【部分圖文】：

2t )| )圖 2-1 h 0.1時 Gauss 方法的均方穩(wěn)定函數(shù)從上圖可以看出，當步長 h 0.1時，由分裂步 Gauss 方法得到的數(shù)值。T圖 2-2 h 0.1時 Lobatta IIIC 方法的均方穩(wěn)定函數(shù)從上面的圖片可以看出，當步長 h 0.1時，由分裂步 Lobatto IIIC 方法

15圖 2-2 h 0.1時 Lobatta IIIC 方法的均方穩(wěn)定函數(shù)從上面的圖片可以看出，當步長 h 0.1時，由分裂步 Lobatto IIIC 方法解是穩(wěn)定的。從而我們可以粗略認為，在步長h取值較小或滿足一定時兩種方法求解方程（1-6）得到的數(shù)值解是均方穩(wěn)定的。下面我們討論當較大的情況。固定參數(shù)0 = 2, 2, y 1, N 10

)圖 2-3 h 10時 Gauss 方法的均方穩(wěn)定函數(shù)然，從上圖可以看出，當步長 h 10時，由分裂步 Gauss 方法得到的是穩(wěn)定的。T圖 2-4 h 10時 Lobatta IIIC 方法的均方穩(wěn)定函數(shù)上圖可以看出，當步長 h 10時，由分裂步 Lobatto IIIC 方法得到的
【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 楊紀華;劉媚;;隨機比例微分方程θ-方法的T-穩(wěn)定性(英文)[J];數(shù)學雜志;2013年01期

2 ;Three-stage Stiffly Accurate Runge-Kutta Methods for Stiff Stochastic Differential Equations[J];Communications in Mathematical Research;2011年02期

相關博士學位論文 前1條

1 王小捷;隨機微分方程數(shù)值算法研究[D];中南大學;2012年

本文編號：2894652