【摘要】：近年來,受實(shí)際問題的驅(qū)動(dòng),時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(TFDEs)引起了廣泛的關(guān)注.關(guān)于TFDEs正問題的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展,然而對(duì)TFDEs反問題的研究,包括理論分析和數(shù)值計(jì)算都還處于初級(jí)階段.鑒于以上現(xiàn)狀,本文主要考慮TFDEs中的以下幾類反問題.第一部分考慮了一類TFDEs中依賴空間變?cè)脑错?xiàng)識(shí)別問題.我們主要考察高維空間一般有界性區(qū)域上由邊界數(shù)據(jù)反演源項(xiàng)的唯一性.首先我們利用分離變量法證明了正問題弱解的存在唯一性,其次利用Laplace變換,證明了反源問題的唯一性.第二部分考慮了一類TFDEs中僅依賴空間變?cè)牧汶A項(xiàng)系數(shù)辨識(shí)問題.我們主要考察在一維情形下由邊界數(shù)據(jù)反演零階項(xiàng)系數(shù)的唯一性及數(shù)值算法,這是一個(gè)非線性反問題.首先我們定義了正問題兩種類型的弱解,并證明其存在唯一性.其次通過Laplace變換和Gel’fand-Levitan理論證明了同時(shí)反演零階項(xiàng)系數(shù)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)的唯一性.然后利用Tikhonov正則化將反演系數(shù)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)變分問題,并得到了該變分問題解的存在性,穩(wěn)定性和收斂性.最后利用共軛梯度法求解了該反問題,其數(shù)值結(jié)果表明我們的方法是有效的.第三部分考慮了一類多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(MTFDEs)中依賴空間變?cè)脑错?xiàng)識(shí)別問題.這是第一部分的一個(gè)推廣.我們主要考察在高維空間由邊界數(shù)據(jù)反演源項(xiàng)的唯一性.首先我們利用變分的方法導(dǎo)出正問題的一個(gè)弱形式,并由Lax-Milgram定理證明了該弱形式解的存在唯一性,其次利用Laplace變換和多項(xiàng)Mittag-Leffler函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),獲得了反源問題的唯一性.第四部分考慮了一類MTFDEs中僅依賴空間變?cè)牧汶A項(xiàng)系數(shù)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)辨識(shí)問題,這是第二部分的一個(gè)推廣.我們主要考察了一維情形下由邊界數(shù)據(jù)同時(shí)反演零階項(xiàng)系數(shù)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)的唯一性和數(shù)值重構(gòu).首先我們給出了正問題的一個(gè)弱形式,并證明其弱解的存在唯一性.其次通過Laplace變換和Gel’fand-Levitan理論和解析延拓技巧證明了反問題的唯一性.然后利用Tikhonov正則化將該反問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)變分問題,并用交替迭代方法求解了該變分問題.借助于靈敏度問題和共軛問題,我們導(dǎo)出了求解零階項(xiàng)系數(shù)的共軛梯度算法,并用最佳懾動(dòng)算法求解了分?jǐn)?shù)階階數(shù),數(shù)值結(jié)果表明我們的算法是有效的.第五部分考慮了一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程(TFCDE)中依賴時(shí)間變?cè)膶?duì)流項(xiàng)系數(shù)識(shí)別問題,這同樣也是一個(gè)非線性的反問題.我們主要考察了一維情形中由內(nèi)部點(diǎn)測(cè)量數(shù)據(jù)反演對(duì)流項(xiàng)系數(shù)的某種穩(wěn)定性和數(shù)值重構(gòu).首先我們利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了對(duì)應(yīng)正問題解的存在唯一性和正則性.然后基于正問題解的正則性和廣義的Gronwall不等式,我們得到了反演對(duì)流項(xiàng)系數(shù)問題的穩(wěn)定性.最后利用帶有Sigmoid型函數(shù)的正則化參數(shù)的最佳懾動(dòng)算法求解了該反系數(shù)問題,數(shù)值算例表明我們的算法是有效的.
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175;N945.14

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本文編號(hào)：2804879