本文關(guān)鍵詞：時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程高階數(shù)值解法

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【摘要】：本文主要研究幾類時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高精度數(shù)值解法并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式.首先,研究一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階數(shù)值算法,并給出相應(yīng)的先驗(yàn)估計(jì)式.基于帶權(quán)和位移的Griinwald-Letnikov算子[48,64],選取位移(p,q,r)=(0,-1,-2),利用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在一定的光滑條件下等價(jià),推導(dǎo)出一種新的三階逼近公式來離散Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).空間方向結(jié)合平均算子技術(shù),對方程構(gòu)造了一種新的緊差分格式(稱為GL3差分格式).利用離散能量分析方法,嚴(yán)格證明了GL3差分格式無條件穩(wěn)定和收斂.其次,討論二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階數(shù)值算法.遵循一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程有限差分格式的構(gòu)造技巧,對二維問題建立時(shí)間和空間均為高階的差分格式,并分析了差分格式在L1(L∞)范數(shù)意義下是無條件穩(wěn)定和收斂的.對于二維情形,由于H1半范不能嵌入到無窮模,因此,二維問題的理論分析技巧與一維問題有著本質(zhì)的區(qū)別.同時(shí),通過添加小量項(xiàng),對二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程建立緊交替方向隱式差分格式(稱為緊ADI格式),通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了緊ADI格式的收斂階和有效性.再次,研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的有效差分格式.在方程兩端作用Riem-an-n-Liouvile分?jǐn)?shù)階積分算子,將原方程轉(zhuǎn)化為積分-微分方程.利用線性插值思想,推導(dǎo)出一種新的二階離散公式逼近Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子,并對等價(jià)方程建立高階的數(shù)值格式.通過數(shù)值算例驗(yàn)證該差分格式的收斂階和有效性.最后,研究帶第一類Dirichlet邊值條件的四階分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的空間高精度的數(shù)值算法.在點(diǎn)x0,x1,x2,x3處和點(diǎn)xM,xM-1,xM-2,xM-3處分別對：xx(x,t)進(jìn)行線性組合,推導(dǎo)出第一類Dirichlet邊值條件的具有四階精度的離散公式,空間方向內(nèi)部點(diǎn)作用平均算子,用L1離散公式逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),對方程建立空間一致四階的差分格式.利用數(shù)學(xué)歸納方法和離散能量分析方法證明差分格式的穩(wěn)定性和收斂性.
【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程 時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程 帶第一類Dirichlet邊值條件的四階分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 有限差分格式 收斂性 穩(wěn)定性
【學(xué)位授予單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-9
• 第一章 緒論9-18
• 1.1 分?jǐn)?shù)階微分算子的定義及性質(zhì)9-11
• 1.2 研究背景及現(xiàn)狀11-16
• 1.3 本文研究動(dòng)機(jī)及主要工作16-18
• 第二章 一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階緊差分格式18-38
• 2.1 引言18-19
• 2.2 高階緊差分格式的建立19-25
• 2.3 差分格式穩(wěn)定性和收斂性分析25-33
• 2.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)33-36
• 2.5 結(jié)論36-38
• 第三章 二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階緊差分格式38-55
• 3.1 引言38-39
• 3.2 高階緊差分格式的建立39-43
• 3.3 差分格式穩(wěn)定性和收斂性分析43-48
• 3.4 緊交替方向格式48-52
• 3.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)52-53
• 3.6 結(jié)論53-55
• 第四章 時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的高階緊差分格式55-64
• 4.1 引言55
• 4.2 Riemann-Liouville積分算子_0D_t~(-α)f(t)的二階離散公式55-57
• 4.3 高階緊差分格式的建立57-60
• 4.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)60-63
• 4.5 結(jié)論63-64
• 第五章 帶第一類Dirichlet邊值條件的四階分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高階緊差分格式64-78
• 5.1 引言64
• 5.2 高階緊差分格式的建立64-70
• 5.3 高階緊差分格式穩(wěn)定性和收斂性分析70-75
• 5.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)75-76
• 5.5 結(jié)論76-78
• 第六章 總結(jié)與展望78-80
• 參考文獻(xiàn)80-86
• 附錄A 攻讀碩士學(xué)位期間完成的工作及獲得的榮譽(yù)86-87
• 附錄B 致謝87

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