本文關(guān)鍵詞：變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其反問(wèn)題

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【摘要】：本文主要考慮三類變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型及其微分階數(shù)反問(wèn)題,分別是一維變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程、一維變空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程,二維變空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。文章從變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā),對(duì)三種方程的差分格式進(jìn)行了論述,并給予有效的數(shù)值模擬演算。由于實(shí)際問(wèn)題中微分階數(shù)是未知的,特別對(duì)于依賴時(shí)間/空間變量的微分階數(shù),更是難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段直接測(cè)量獲得,因而我們?cè)谡龁?wèn)題的基礎(chǔ)上,開(kāi)展了對(duì)此類方程中變微分階數(shù)的數(shù)值反演研究。論文主要內(nèi)容安排如下:第一章,介紹研究意義,并對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究進(jìn)行總結(jié),給出本文的工作重點(diǎn)。第二章,介紹四種變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念及其它們之間的關(guān)系。第三章,考慮一維變時(shí)間分?jǐn)?shù)階常系數(shù)擴(kuò)散方程。對(duì)于正問(wèn)題求解,用Caputo變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散,基于系數(shù)譜半徑的精細(xì)估計(jì),給出差分格式穩(wěn)定性和收斂性的證明。同時(shí),引入同倫正則化算法對(duì)確定微分階數(shù)的反問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值反演模擬。第四章,考慮一維變空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程。對(duì)于正問(wèn)題,應(yīng)用改進(jìn)的Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行離散,得到隱式差分格式,關(guān)于格式的穩(wěn)定性和收斂性我們用簡(jiǎn)便方法給出證明,并給出數(shù)值算例。在正問(wèn)題計(jì)算的基礎(chǔ)上,應(yīng)用同倫正則化算法給出確定隨時(shí)間/空間變化的微分階數(shù)的數(shù)值反演問(wèn)題。第五章,考慮二維變空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程問(wèn)題。應(yīng)用改進(jìn)的Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義離散方程得到Euler交替差分格式。進(jìn)而研究確定變微分階數(shù)的數(shù)值反演,討論不同參數(shù)取值對(duì)反演算法的影響。第六章對(duì)本文工作進(jìn)行總結(jié),指出研究不足及進(jìn)一步的研究方向。
【關(guān)鍵詞】：一維變時(shí)間/空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 二維變空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 反問(wèn)題 變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 同倫正則化算法 交替差分法 穩(wěn)定性與收斂性 數(shù)值反演
【學(xué)位授予單位】：山東理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第一章 緒論8-11
• 1.1 研究意義8-9
• 1.2 研究動(dòng)態(tài)及發(fā)展趨勢(shì)9-10
• 1.3 本文主要工作10-11
• 第二章 預(yù)備知識(shí)11-14
• 2.1 四種變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義11-12
• 2.2 變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)關(guān)系12-14
• 第三章 一維變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其反問(wèn)題14-27
• 3.1 一維變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程14
• 3.2 正問(wèn)題的數(shù)值求解14-20
• 3.2.1 求解正問(wèn)題的差分格式14-16
• 3.2.2 穩(wěn)定性和收斂性的證明16-18
• 3.2.3 正問(wèn)題求解的數(shù)值算例18-20
• 3.3 反問(wèn)題及反演算法20-22
• 3.4 數(shù)值反演22-26
• 3.5 結(jié)束語(yǔ)26-27
• 第四章 一維變空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程及其反問(wèn)題27-41
• 4.1 一維變空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程27-28
• 4.2 正問(wèn)題的數(shù)值求解28-35
• 4.2.1 求解正問(wèn)題的差分格式28-29
• 4.2.2 穩(wěn)定性和收斂性分析29-31
• 4.2.3 數(shù)值算例31-35
• 4.3 數(shù)值反演35-40
• 4.3.1 關(guān)于微分階數(shù)數(shù)值反演35-38
• 4.3.2 關(guān)于微分階數(shù)數(shù)值反演—算例 4.238-40
• 4.4 結(jié)束語(yǔ)40-41
• 第五章 二維變空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其反問(wèn)題41-51
• 5.1 二維變空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程41
• 5.2 正問(wèn)題的求解41-48
• 5.2.1 差分格式的構(gòu)建41-45
• 5.2.2 數(shù)值算例45-48
• 5.3 數(shù)值反演48-50
• 5.4 本章總結(jié)50-51
• 第六章 總結(jié)與展望51-52
• 6.1 主要結(jié)論51
• 6.2 后續(xù)工作展望51-52
• 參考文獻(xiàn)52-56
• 在學(xué)期間公開(kāi)發(fā)表論文及著作情況56-57
• 致謝57

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