本文關鍵詞：變分數階擴散方程及其反問題

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【摘要】：本文主要考慮三類變分數階擴散模型及其微分階數反問題,分別是一維變時間分數階擴散方程、一維變空間分數階對流擴散方程,二維變空間分數階擴散方程。文章從變分數階導數的定義出發(fā),對三種方程的差分格式進行了論述,并給予有效的數值模擬演算。由于實際問題中微分階數是未知的,特別對于依賴時間/空間變量的微分階數,更是難以通過實驗手段直接測量獲得,因而我們在正問題的基礎上,開展了對此類方程中變微分階數的數值反演研究。論文主要內容安排如下:第一章,介紹研究意義,并對國內外相關研究進行總結,給出本文的工作重點。第二章,介紹四種變分數階導數的概念及其它們之間的關系。第三章,考慮一維變時間分數階常系數擴散方程。對于正問題求解,用Caputo變分數階導數進行離散,基于系數譜半徑的精細估計,給出差分格式穩(wěn)定性和收斂性的證明。同時,引入同倫正則化算法對確定微分階數的反問題進行數值反演模擬。第四章,考慮一維變空間分數階對流擴散方程。對于正問題,應用改進的Grunwald-Letnikov分數階導數定義進行離散,得到隱式差分格式,關于格式的穩(wěn)定性和收斂性我們用簡便方法給出證明,并給出數值算例。在正問題計算的基礎上,應用同倫正則化算法給出確定隨時間/空間變化的微分階數的數值反演問題。第五章,考慮二維變空間分數階擴散方程問題。應用改進的Grunwald-Letnikov分數階導數定義離散方程得到Euler交替差分格式。進而研究確定變微分階數的數值反演,討論不同參數取值對反演算法的影響。第六章對本文工作進行總結,指出研究不足及進一步的研究方向。
【關鍵詞】：一維變時間/空間分數階擴散方程 二維變空間分數階擴散方程 反問題 變分數階導數 同倫正則化算法 交替差分法 穩(wěn)定性與收斂性 數值反演
【學位授予單位】：山東理工大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第一章 緒論8-11
• 1.1 研究意義8-9
• 1.2 研究動態(tài)及發(fā)展趨勢9-10
• 1.3 本文主要工作10-11
• 第二章 預備知識11-14
• 2.1 四種變分數階導數定義11-12
• 2.2 變分數階導數關系12-14
• 第三章 一維變時間分數階擴散方程及其反問題14-27
• 3.1 一維變時間分數階擴散方程14
• 3.2 正問題的數值求解14-20
• 3.2.1 求解正問題的差分格式14-16
• 3.2.2 穩(wěn)定性和收斂性的證明16-18
• 3.2.3 正問題求解的數值算例18-20
• 3.3 反問題及反演算法20-22
• 3.4 數值反演22-26
• 3.5 結束語26-27
• 第四章 一維變空間分數階對流擴散方程及其反問題27-41
• 4.1 一維變空間分數階對流擴散方程27-28
• 4.2 正問題的數值求解28-35
• 4.2.1 求解正問題的差分格式28-29
• 4.2.2 穩(wěn)定性和收斂性分析29-31
• 4.2.3 數值算例31-35
• 4.3 數值反演35-40
• 4.3.1 關于微分階數數值反演35-38
• 4.3.2 關于微分階數數值反演—算例 4.238-40
• 4.4 結束語40-41
• 第五章 二維變空間分數階擴散方程及其反問題41-51
• 5.1 二維變空間分數階擴散方程41
• 5.2 正問題的求解41-48
• 5.2.1 差分格式的構建41-45
• 5.2.2 數值算例45-48
• 5.3 數值反演48-50
• 5.4 本章總結50-51
• 第六章 總結與展望51-52
• 6.1 主要結論51
• 6.2 后續(xù)工作展望51-52
• 參考文獻52-56
• 在學期間公開發(fā)表論文及著作情況56-57
• 致謝57

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