本文關(guān)鍵詞：非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的正解存在性及數(shù)值解法研究

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【摘要】：常微分方程的邊值問(wèn)題已經(jīng)成為微分方程學(xué)科的重要組成部分之一.它的研究最初是由19世紀(jì)30年代Sturm和Liouville對(duì)二階線性方程的邊值問(wèn)題求解開(kāi)始的.邊值問(wèn)題在工程學(xué)、金融等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用,是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具.而解的存在性是邊值問(wèn)題研究的重要課題,首先要弄清楚微分方程解的存在性和解的個(gè)數(shù),然后再求方程的數(shù)值解并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中.本文主要對(duì)二階非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題進(jìn)行研究,利用Green函數(shù)構(gòu)造與微分方程等價(jià)的積分算子方程,接下來(lái)將微分方程解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究其相應(yīng)的積分算子在Banach空間中錐上的不動(dòng)點(diǎn)存在問(wèn)題.再利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理,同時(shí)結(jié)合拓?fù)涠鹊南嚓P(guān)結(jié)果證明二階非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題正解的存在性.本文的結(jié)構(gòu)如下：第一章緒論部分介紹了Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的基本知識(shí)和研究現(xiàn)狀,給出了本文將要用到的部分重要定義和引理.同時(shí)介紹了一類二階常微分方程邊值問(wèn)題的Green函數(shù)求法.第二章研究了非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的正解存在性.首先,通過(guò)限制非線性項(xiàng)的上下極限,在非線性項(xiàng)非負(fù)的情況下證明了非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的正解存在性.然后,通過(guò)改進(jìn)二階非線性常微分方程邊值問(wèn)題的存在性條件,突破了非線性項(xiàng)非負(fù)的局限,在帶參數(shù)的情況下,得到了非線性項(xiàng)可變號(hào)時(shí)解的存在性結(jié)果.最后,證明了非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的多解性.第三章在理論證明的基礎(chǔ)上,將求微分方程的數(shù)值解轉(zhuǎn)化為求Hammerstein型積分方程的數(shù)值解.首先簡(jiǎn)單介紹了非線性常微分方程邊值問(wèn)題的常用數(shù)值解法和非線性積分方程的分類.然后在原有迭代法的基礎(chǔ)上,對(duì)迭代項(xiàng)進(jìn)行修正,使迭代速度更快.最后給出具體算例并用Matlab軟件求出方程的數(shù)值解.通過(guò)與原來(lái)的迭代法比較,說(shuō)明新的加速法確實(shí)有效.第四章是本文的總結(jié)和展望.
【關(guān)鍵詞】：Green函數(shù) Sturm-Liouville邊值問(wèn)題 正解 Hammerstein積分方程 數(shù)值解
【學(xué)位授予單位】：南京財(cái)經(jīng)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.81
【目錄】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-8
• 第一章 緒論8-19
• 1.1 研究背景及現(xiàn)狀8-10
• 1.2 本文的主要工作和創(chuàng)新10
• 1.3 本文常用定義和引理10-12
• 1.4 一類二階常微分方程邊值問(wèn)題的Green函數(shù)求法12-19
• 1.4.1 預(yù)備知識(shí)12-13
• 1.4.2 周期邊界條件下的Green函數(shù)及證明13-16
• 1.4.3 方程在另外幾種邊界條件下的Green函數(shù)16-19
• 第二章 非線性Sturm-Liouville邊值問(wèn)題正解存在性19-35
• 2.1 非線性項(xiàng)非負(fù)的Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的正解存在性19-23
• 2.1.1 預(yù)備知識(shí)19-20
• 2.1.2 主要定理及證明20-23
• 2.2 非線性項(xiàng)可變號(hào)的Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的正解存在性23-30
• 2.2.1 預(yù)備知識(shí)24-25
• 2.2.2 主要定理及證明25-30
• 2.3 非線性項(xiàng)可變號(hào)的Sturm-Liouville邊值問(wèn)題的多解存在性30-35
• 2.3.1 預(yù)備知識(shí)30-32
• 2.3.2 主要定理及證明32-35
• 第三章 數(shù)值解法及算例35-40
• 3.1 非線性常微分方程的數(shù)值解法35
• 3.2 非線性Fredholm積分方程的分類35-36
• 3.3 第二類Hammerstein型Fredholm積分方程的數(shù)值算法36-40
• 第四章 總結(jié)和展望40-41
• 4.1 主要研究結(jié)論40
• 4.2 本文研究的局限性及研究展望40-41
• 附錄41-48
• 參考文獻(xiàn)48-51
• 攻讀碩士期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文51-52
• 后記52

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 姚慶六;;非線性Sturm-Liouville問(wèn)題的一個(gè)正解存在定理[J];華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2009年01期

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本文編號(hào)：893638