本文關(guān)鍵詞：非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法

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【摘要】：分?jǐn)?shù)階微分方程是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的一類微分方程,相比于整數(shù)階微分方程,前者能更好地模擬自然物理現(xiàn)象以及物質(zhì)的變化規(guī)律,因此在現(xiàn)實(shí)生活中有非常廣泛的應(yīng)用.目前,分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)學(xué)理論還不成熟,尤其是數(shù)值解的研究還需要進(jìn)一步深入.本文主要研究非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法.在本文中,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)均為Caputo定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),對(duì)方程的空間離散均應(yīng)用微分求積方法.文章主要工作分為四個(gè)部分：第一部分,給出了分?jǐn)?shù)階微積分的研究意義、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí),包括(分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì),微分變換法的定義與性質(zhì),微分求積法的定義與性質(zhì)以及Gs(p)算法的定義與性質(zhì)).第二部分,研究了非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階空氣動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值解法,提出一種將空間微分求積法與時(shí)間微分變換法相結(jié)合的的新方法,并給出數(shù)值計(jì)算的構(gòu)造過(guò)程和實(shí)現(xiàn)方法.在章節(jié)的最后給出兩個(gè)數(shù)值算例,測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性.第三部分,討論了一般非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法.在時(shí)間上應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)G算法對(duì)方程進(jìn)行全離散,并對(duì)全離散格式作了穩(wěn)定性和收斂性分析,數(shù)值測(cè)試結(jié)果也驗(yàn)證了該方法的精確性和可靠性,得到方法的收斂階為1階.第四部分,對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的G算法做了改進(jìn),即取移位的Gs(p)算法中p=α/2得到Gα算法.此部分應(yīng)用空間微分求積法/時(shí)間Gα算法對(duì)方程進(jìn)行全離散,并采用預(yù)估校正思想來(lái)處理第四章中方程(4-39)的非線性項(xiàng).實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果表明經(jīng)過(guò)多次預(yù)估校正,能夠明顯提高方程的求解精度與收斂階.
【關(guān)鍵詞】：非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 微分求積法 微分變換法 G_(s(p))算法 預(yù)估校正
【學(xué)位授予單位】：華南理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 緒論10-18
• 1.1 分?jǐn)?shù)階微積分的研究意義及現(xiàn)狀10-13
• 1.1.1 分?jǐn)?shù)階微積分的研究意義10-11
• 1.1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的研究現(xiàn)狀11-13
• 1.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)13-16
• 1.2.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的基本函數(shù)13-14
• 1.2.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義14-15
• 1.2.3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)15-16
• 1.3 本文主要工作16-18
• 第二章 預(yù)備知識(shí)18-28
• 2.1 微分變換法18-19
• 2.1.1 微分變換法基本定義18
• 2.1.2 微分變換法的基本性質(zhì)18-19
• 2.2 微分求積法19-23
• 2.2.1 微分求積法的基本定義19-21
• 2.2.2 權(quán)系數(shù)的確定21-22
• 2.2.3 節(jié)點(diǎn)的選取22-23
• 2.3 Riemann-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的G_s(p)算法23-28
• 2.3.1 G_s(p)算法的定義23-24
• 2.3.2 G_s(p)算法的性質(zhì)24-28
• 第三章 非線性空氣動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值方法28-34
• 3.1 空間離散：微分求積法28-29
• 3.2 時(shí)間方法：微分變換法29-30
• 3.3 數(shù)值測(cè)試30-31
• 3.4 本章小結(jié)31-34
• 第四章 非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值方法34-44
• 4.1 全離散形式35-36
• 4.2 穩(wěn)定性和收斂性分析36-40
• 4.3 數(shù)值算例40-42
• 4.4 本章小結(jié)42-44
• 第五章 基于改進(jìn)的G_s(p)算法的預(yù)估校正方法44-52
• 5.1 G_α算法分析44-51
• 5.1.1 線性插值下的預(yù)估校正方法45-47
• 5.1.2 二次插值下的預(yù)估校正方法47-51
• 5.2 本章總結(jié)51-52
• 總結(jié)與展望52-54
• 參考文獻(xiàn)54-59
• 攻讀碩士學(xué)位期間取得的研究成果59-60
• 致謝60-61
• 附件61

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前2條

1 王鑫偉;微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用[J];力學(xué)進(jìn)展;1995年02期

2 葉俊杰;錢德亮;;Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程的微分變換方法[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2009年02期

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1 王永亮;微分求積法和微分求積單元法——原理與應(yīng)用[D];南京航空航天大學(xué);2001年

2 林玉閩;時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解及其應(yīng)用[D];廈門大學(xué);2008年

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1 劉劍;求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的微分求積法研究[D];南京航空航天大學(xué);2007年

2 張?zhí)?微分求積法在一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程中的應(yīng)用[D];華南理工大學(xué);2014年

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本文編號(hào)：860510