本文關(guān)鍵詞：守恒型分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的混合有限元數(shù)值方法

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【摘要】：本文討論由雙邊Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)刻畫的守恒型分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,這里K是擴(kuò)散系數(shù),f ∈L2(Ω)是源項或匯項；D=(?)是一階導(dǎo)數(shù)算子,0(?)和(?)是由(2.2.1)和(2.2.3)式定義的β階左、右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子.(?)分別對應(yīng)左、右Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)刻畫的單邊分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程.上述分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程刻畫了依賴于全局性態(tài)的反�；蚍欠瓶藬U(kuò)散現(xiàn)象.為了滿足工程應(yīng)用中對擴(kuò)散通量的辨識需求,無論是傳統(tǒng)的二階擴(kuò)散方程還是分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,所設(shè)計的數(shù)值方法都應(yīng)同時關(guān)注未知函數(shù)及其通量,且滿足質(zhì)量守恒律以反映擴(kuò)散問題的原始數(shù)學(xué)物理特征.與二階擴(kuò)散方程比較,分?jǐn)?shù)階微積分算子的非局部性質(zhì)導(dǎo)致其數(shù)值離散格式的系數(shù)矩陣為非稀疏矩陣,計算復(fù)雜性顯著增大.因此,構(gòu)造快速算法也已成為高性能數(shù)值模擬分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問題的極富挑戰(zhàn)性的內(nèi)容之一對此,本文中我們基于鞍點理論與負(fù)指數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)空間,引入分?jǐn)?shù)階通量p=-K(θ0Ixβ+(1-θ)xI1β)q與導(dǎo)數(shù)q=DU作為中間變量,在H1(Ω)×H-β/2)(Ω)× L2(Ω)上建立了與分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問題等價的混合變分原理.據(jù)此,構(gòu)造了能同時高精度數(shù)值逼近未知函數(shù)、擴(kuò)散通量以及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)展混合有限元方法.理論分析表明,文中所構(gòu)造的擴(kuò)展混合有限元離散格式逐單元保持質(zhì)量守恒,這一點對實際的工程計算是至關(guān)重要的；離散格式的解存在唯一,且具有對未知函數(shù)、分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散通量及其函數(shù)導(dǎo)數(shù)具有在某種意義的最優(yōu)L2或H-β/2-模收斂精度.在收斂性分析中,我們摒棄了文獻(xiàn)[16]中基于未經(jīng)證明正則性假定的對偶論證方法,代之以利用真解在相應(yīng)空間上投影的良好逼近性質(zhì),建立了不依賴于對偶問題正則性假定的最優(yōu)階收斂性理論.我們還給出一系列數(shù)值實驗結(jié)果,表明文中所提離散格式具有與收斂性理論分析相匹配的數(shù)值逼近精度,從而說明了離散格式的有效性.注意到分?jǐn)?shù)階微分算子的非局部性質(zhì)所導(dǎo)致的離散問題系數(shù)矩陣復(fù)雜性,若使用傳統(tǒng)的高斯迭代法求解,將會產(chǎn)生O(N3)和O(N2)的計算量與存儲量,致使計算時間過長甚至無法運行.因此,設(shè)計快速求解上述離散格式的有效算法是十分必要的.我們發(fā)現(xiàn),離散格式的剛度矩陣可分塊為四個零陣、四個稀疏矩陣和一個Toeplitz矩陣,而快速傅里葉變換在求解具Toeplitz型矩陣的矩陣-向量積時,具有理想的計算量O(Nlog N)鑒于此,我們將快速傅里葉變換與共軛梯度法結(jié)合,構(gòu)造出了每次迭代計算量為O(N log N),存儲量為O(N)的擴(kuò)展混合有限元快速算法(FCG),較高斯消去法有了明顯的改善.遺憾的是,在設(shè)計的FCG中,由于混合有限元離散格式系數(shù)矩陣的病態(tài)性質(zhì),造成了迭代次數(shù)強(qiáng)烈的依賴于未知量個數(shù)N,使FCG的計算量未達(dá)到理想的O(N log N).對此,我們將預(yù)處理技術(shù)與FCG相結(jié)合,設(shè)計了擴(kuò)展混合有限元預(yù)處理快速算法(PFCG).數(shù)值實驗表明,PFCG的迭代次數(shù)不依賴于未知量個數(shù),計算量與存儲量分別達(dá)到了理想的0(Nlog N)和O(N).
【關(guān)鍵詞】：守恒型分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 雙邊分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 鞍點理論 混合變分原理 擴(kuò)展混合有限元方法 最優(yōu)階誤差估計 共軛梯度法 快速傅里葉變換 預(yù)處理快速共軛梯度法 數(shù)值實驗
【學(xué)位授予單位】：山東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要5-7
• 英文摘要7-10
• 第一章 緒論10-13
• 第二章 守恒分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的擴(kuò)展混合有限元方法13-33
• 2.1 引言13-14
• 2.2 預(yù)備知識14-16
• 2.3 鞍點變分格式16-21
• 2.4 擴(kuò)展混合有限元方法21-24
• 2.5 收斂性分析24-30
• 2.6 數(shù)值算例30-33
• 第三章 守恒分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的擴(kuò)展混合有限元快速算法33-47
• 3.1 引言33
• 3.2 共軛梯度法33-35
• 3.3 快速共軛梯度法35-39
• 3.4 預(yù)處理快速共軛梯度法39-44
• 3.5 數(shù)值算例44-47
• 第四章 評注47-48
• 參考文獻(xiàn)48-52
• 攻讀學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文52-53
• 致謝53

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