本文關(guān)鍵詞：自適應(yīng)網(wǎng)格求解奇異攝動(dòng)問(wèn)題的多尺度有限元方法

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【摘要】：在科學(xué)計(jì)算中經(jīng)常遇到帶有小參數(shù)的微分方程,稱之為“奇異攝動(dòng)問(wèn)題”.它的解在局部范圍內(nèi)變化非常劇烈,導(dǎo)致其在均勻網(wǎng)格上的數(shù)值解精度偏低.而自適應(yīng)網(wǎng)格是在不改變網(wǎng)格總節(jié)點(diǎn)數(shù)的情況下,把網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)更多的放在解變化劇烈的區(qū)域,從而使問(wèn)題的數(shù)值解在精度方面得到很大的提升.本論文主要研究奇異攝動(dòng)問(wèn)題在一維空間的自適應(yīng)網(wǎng)格方法,并結(jié)合有限元和多尺度有限元方法來(lái)得到更好的數(shù)值解.目前解決奇異攝動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值算法主要分為兩種,一種是算子適應(yīng)法,另一種就是網(wǎng)格適應(yīng)法.本篇論文的主要內(nèi)容就是采用網(wǎng)格適應(yīng)法來(lái)解決奇異攝動(dòng)問(wèn)題.我們介紹了幾種常見(jiàn)的特殊網(wǎng)格,并給出了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的定義,對(duì)幾種不同的奇異攝動(dòng)方程分別在Uniform網(wǎng)格、Shishkin網(wǎng)格、Graded網(wǎng)格、Bakhvalov網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果的分析,發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同方程來(lái)說(shuō),卻有相似的結(jié)果：在一致網(wǎng)格上一般得不到的滿意的數(shù)值解,但是在自適應(yīng)網(wǎng)格上就能得到更好的數(shù)值解,能更好的逼近邊界層.說(shuō)明自適應(yīng)網(wǎng)格結(jié)合多尺度有限元的方法在解決奇異攝動(dòng)問(wèn)題確實(shí)有比較好的效果,我們可以將此方法推廣到更為一般、復(fù)雜的奇異攝動(dòng)問(wèn)題.文章通過(guò)對(duì)幾種方程的實(shí)際運(yùn)算,列出了大量的圖片和表格,我們可以很直觀的看出數(shù)值解與真解的逼近情況,并給出了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果和收斂階.多尺度有限元方法比傳統(tǒng)有限元更節(jié)約存儲(chǔ)空間,在較粗的網(wǎng)格上多尺度有限元法有時(shí)比傳統(tǒng)有限元法能得到更精確的數(shù)值解,說(shuō)明多尺度有限元在進(jìn)行大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算時(shí)更有優(yōu)勢(shì),更能適應(yīng)現(xiàn)在的大數(shù)據(jù)時(shí)代.論文中還考慮了沒(méi)有真解的變系數(shù)奇異攝動(dòng)方程,當(dāng)方程沒(méi)有真解時(shí),可以取在一致網(wǎng)格細(xì)剖分?jǐn)?shù)為2048上的有限元解當(dāng)作真解,然后用數(shù)值解與這個(gè)真解進(jìn)行比較.驗(yàn)證了我們數(shù)值方法仍然適用,并給出相關(guān)圖表,用事實(shí)說(shuō)明這種方法的科學(xué)性.本論文的最后一章節(jié)考慮了依賴于時(shí)間的非定常對(duì)流擴(kuò)散的一維方程,提出了相關(guān)的處理方法和思路,并作出了合理的猜想.不過(guò)目前沒(méi)有開(kāi)展具體的數(shù)值驗(yàn)證,希望在今后的學(xué)習(xí)工作中,進(jìn)行更深入細(xì)致的研究.
【關(guān)鍵詞】：奇異攝動(dòng) 自適應(yīng)網(wǎng)格 邊界層現(xiàn)象 多尺度有限元 變系數(shù)方程
【學(xué)位授予單位】：揚(yáng)州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要2-3
• Abstract3-6
• 第1章 預(yù)備知識(shí)6-12
• 1.1 奇異攝動(dòng)問(wèn)題6
• 1.2 自適應(yīng)網(wǎng)格6-8
• 1.3 多尺度問(wèn)題及多尺度有限元方法8-12
• 第2章 反應(yīng)擴(kuò)散方程的多尺度有限元方法12-16
• 2.1 研究的問(wèn)題12
• 2.2 變分形式及多尺度有限元法12-13
• 2.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)和分析13-16
• 第3章 對(duì)流擴(kuò)散方程多尺度有限元方法16-22
• 3.1 研究的問(wèn)題16-19
• 3.2 考慮的具體對(duì)流擴(kuò)散方程19-22
• 第4章 變系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題多尺度有限元方法22-27
• 4.1 一維變系數(shù)擴(kuò)散方程模型22-23
• 4.2 考慮的具體變系數(shù)方程23-27
• 第5章 與時(shí)間有關(guān)的非定常對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的多尺度有限元方案27-29
• 5.1 研究的問(wèn)題27
• 5.2 多尺度有限元方法的處理方案27-29
• 結(jié)論29-30
• 致謝30-31
• 參考文獻(xiàn)31-33

【相似文獻(xiàn)】

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