本文關鍵詞：自適應網(wǎng)格求解奇異攝動問題的多尺度有限元方法

  更多相關文章： 奇異攝動 自適應網(wǎng)格 邊界層現(xiàn)象 多尺度有限元 變系數(shù)方程

【摘要】：在科學計算中經(jīng)常遇到帶有小參數(shù)的微分方程,稱之為“奇異攝動問題”.它的解在局部范圍內(nèi)變化非常劇烈,導致其在均勻網(wǎng)格上的數(shù)值解精度偏低.而自適應網(wǎng)格是在不改變網(wǎng)格總節(jié)點數(shù)的情況下,把網(wǎng)格節(jié)點更多的放在解變化劇烈的區(qū)域,從而使問題的數(shù)值解在精度方面得到很大的提升.本論文主要研究奇異攝動問題在一維空間的自適應網(wǎng)格方法,并結(jié)合有限元和多尺度有限元方法來得到更好的數(shù)值解.目前解決奇異攝動問題的數(shù)值算法主要分為兩種,一種是算子適應法,另一種就是網(wǎng)格適應法.本篇論文的主要內(nèi)容就是采用網(wǎng)格適應法來解決奇異攝動問題.我們介紹了幾種常見的特殊網(wǎng)格,并給出了網(wǎng)格節(jié)點的定義,對幾種不同的奇異攝動方程分別在Uniform網(wǎng)格、Shishkin網(wǎng)格、Graded網(wǎng)格、Bakhvalov網(wǎng)格進行數(shù)值計算.通過對數(shù)值結(jié)果的分析,發(fā)現(xiàn)對于不同方程來說,卻有相似的結(jié)果：在一致網(wǎng)格上一般得不到的滿意的數(shù)值解,但是在自適應網(wǎng)格上就能得到更好的數(shù)值解,能更好的逼近邊界層.說明自適應網(wǎng)格結(jié)合多尺度有限元的方法在解決奇異攝動問題確實有比較好的效果,我們可以將此方法推廣到更為一般、復雜的奇異攝動問題.文章通過對幾種方程的實際運算,列出了大量的圖片和表格,我們可以很直觀的看出數(shù)值解與真解的逼近情況,并給出了相應的數(shù)值結(jié)果和收斂階.多尺度有限元方法比傳統(tǒng)有限元更節(jié)約存儲空間,在較粗的網(wǎng)格上多尺度有限元法有時比傳統(tǒng)有限元法能得到更精確的數(shù)值解,說明多尺度有限元在進行大規(guī)模的數(shù)值計算時更有優(yōu)勢,更能適應現(xiàn)在的大數(shù)據(jù)時代.論文中還考慮了沒有真解的變系數(shù)奇異攝動方程,當方程沒有真解時,可以取在一致網(wǎng)格細剖分數(shù)為2048上的有限元解當作真解,然后用數(shù)值解與這個真解進行比較.驗證了我們數(shù)值方法仍然適用,并給出相關圖表,用事實說明這種方法的科學性.本論文的最后一章節(jié)考慮了依賴于時間的非定常對流擴散的一維方程,提出了相關的處理方法和思路,并作出了合理的猜想.不過目前沒有開展具體的數(shù)值驗證,希望在今后的學習工作中,進行更深入細致的研究.
【關鍵詞】：奇異攝動 自適應網(wǎng)格 邊界層現(xiàn)象 多尺度有限元 變系數(shù)方程
【學位授予單位】：揚州大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要2-3
• Abstract3-6
• 第1章 預備知識6-12
• 1.1 奇異攝動問題6
• 1.2 自適應網(wǎng)格6-8
• 1.3 多尺度問題及多尺度有限元方法8-12
• 第2章 反應擴散方程的多尺度有限元方法12-16
• 2.1 研究的問題12
• 2.2 變分形式及多尺度有限元法12-13
• 2.3 數(shù)值實驗和分析13-16
• 第3章 對流擴散方程多尺度有限元方法16-22
• 3.1 研究的問題16-19
• 3.2 考慮的具體對流擴散方程19-22
• 第4章 變系數(shù)對流擴散問題多尺度有限元方法22-27
• 4.1 一維變系數(shù)擴散方程模型22-23
• 4.2 考慮的具體變系數(shù)方程23-27
• 第5章 與時間有關的非定常對流擴散問題的多尺度有限元方案27-29
• 5.1 研究的問題27
• 5.2 多尺度有限元方法的處理方案27-29
• 結(jié)論29-30
• 致謝30-31
• 參考文獻31-33

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