本文關(guān)鍵詞：基于移位Jacobi多項式求解三類變分?jǐn)?shù)階非線性微積分方程

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【摘要】：近些年來,隨著科技的不斷進(jìn)步,有些關(guān)于物理和工程等科學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型不再是分?jǐn)?shù)階線性或非線性系統(tǒng),而出現(xiàn)了變分?jǐn)?shù)階線性或非線性系統(tǒng)。如變分?jǐn)?shù)階微分已經(jīng)被成功的應(yīng)用到了研究黏彈性材料及振蕩器的動力學(xué)問題與控制問題當(dāng)中,這些問題一般是利用變分?jǐn)?shù)階微分或積分方程來建立模型的,因此如何求解變分?jǐn)?shù)階微分、積分方程成了處理這些系統(tǒng)問題的關(guān)鍵,隨即研究變分?jǐn)?shù)階微積分方程數(shù)值解成為了一個受人矚目的研究課題。在數(shù)值分析中,多項式逼近函數(shù)理論被廣泛地應(yīng)用,即用多項式去逼近解析式較為復(fù)雜或者解析式未知的函數(shù)。因此論文基于移位Jacobi多項式對未知函數(shù)進(jìn)行逼近,結(jié)合變分?jǐn)?shù)階微積分定義和算子矩陣的思想,研究變分?jǐn)?shù)階微積分方程的求解方法。論文主要包括以下內(nèi)容:首先,論文介紹了分?jǐn)?shù)階微分、積分和變分?jǐn)?shù)階微分、積分的歷史背景和研究現(xiàn)狀。然后給出了分?jǐn)?shù)階微分、積分,變分?jǐn)?shù)階微分、積分的定義。再次結(jié)合Jacobi多項式的定義及性質(zhì),推導(dǎo)出了移位Jacobi多項式。其次,在第3、4章中,首先給出移位Jacobi多項式逼近函數(shù)及其收斂性分析,然后結(jié)合移位Jacobi多項式的定義及變分?jǐn)?shù)階微分的定義,推導(dǎo)出了移位Jacobi多項式的一階微分算子矩陣和變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣,利用所得算子矩陣將變分?jǐn)?shù)階非線性Riccati微分方程及一般形式的變分?jǐn)?shù)階非線性微分方程轉(zhuǎn)化為矩陣相乘的形式,通過離散變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的形式,進(jìn)而利用計算機MATLAB編程求得原方程的數(shù)值解,最后數(shù)值算例驗證了所提算法的可行性和有效性。最后,在第5章中,通過函數(shù)逼近理論及變分?jǐn)?shù)階微積分定義推導(dǎo)出移位Jacobi多項式的一階積分算子矩陣,結(jié)合第3、4章所得到的變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣求解了一類變分?jǐn)?shù)階非線性微積分方程。
【關(guān)鍵詞】：變分?jǐn)?shù)階非線性微積分方程 移位Jacobi多項式 算子矩陣 數(shù)值解 絕對誤差
【學(xué)位授予單位】：燕山大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.83
【目錄】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 第1章 緒論10-16
• 1.1 多項式逼近函數(shù)研究背景及意義10-11
• 1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的研究背景及意義11-12
• 1.3 數(shù)值計算方法的研究現(xiàn)狀12-14
• 1.4 課題提出的背景及研究意義14-15
• 1.5 論文的主要內(nèi)容及安排15-16
• 第2章 基礎(chǔ)知識16-28
• 2.1 三類經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分16-22
• 2.1.1 分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville微積分16-18
• 2.1.2 分?jǐn)?shù)階Caputo微積分18-20
• 2.1.3 分?jǐn)?shù)階Grünwald-Letnikov微積分20-22
• 2.2 變分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)知識22-24
• 2.2.1 變分?jǐn)?shù)階微積分定義22-23
• 2.2.2 變分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)23-24
• 2.3 多項式的知識簡介24-27
• 2.3.1 正交多項式的定義及性質(zhì)24-25
• 2.3.2 Jacobi多項式的定義及性質(zhì)25-26
• 2.3.3 移位Jacobi多項式的定義26-27
• 2.4 本章小結(jié)27-28
• 第3章 移位Jacobi多項式求解變分?jǐn)?shù)階非線性Riccati微分方程28-38
• 3.1 函數(shù)的逼近28
• 3.2 誤差估計及收斂性分析28-30
• 3.3 應(yīng)用移位Jacobi多項式求解變分?jǐn)?shù)階非線性Riccati微分方程30-36
• 3.3.1 移位Jacobi多項式的線性項變階微分算子矩陣30-32
• 3.3.2 數(shù)值求解算法32-33
• 3.3.3 數(shù)值算例33-36
• 3.4 本章小結(jié)36-38
• 第4章 移位Jacobi多項式求解一般形式的變分?jǐn)?shù)階非線性微分方程38-45
• 4.1 移位Jacobi多項式的一階微分算子矩陣38-39
• 4.2 移位Jacobi多項式的非線性項變階微分算子矩陣39-40
• 4.3 數(shù)值算法40
• 4.4 數(shù)值算例40-44
• 4.5 本章小結(jié)44-45
• 第5章 基于移位Jacobi多項式求解一類變分?jǐn)?shù)階非線性微積分方程45-51
• 5.1 移位Jacobi多項式的一階積分算子矩陣45-46
• 5.2 數(shù)值算法46-47
• 5.3 數(shù)值算例47-50
• 5.4 本章小結(jié)50-51
• 結(jié)論51-53
• 參考文獻(xiàn)53-58
• 攻讀碩士學(xué)位期間承擔(dān)的科研任務(wù)與主要成果58-59
• 致謝59

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