變階數(shù)微分方程是分?jǐn)?shù)階微分方程研究的延伸與拓展,其基本特征是導(dǎo)數(shù)的階數(shù)會隨著時(shí)間或空間的變化而發(fā)生改變.近十年來,變階數(shù)微分方程模型在許多領(lǐng)域均有成功的運(yùn)用,但是其數(shù)學(xué)理論的研究較為缺乏,特別是對于這類方程解性質(zhì)的刻畫一直是一個(gè)非常困難的問題.本文通過對兩類變階數(shù)物理模型進(jìn)行研究,旨在得到這兩類方程的解在初始時(shí)刻的Puiseux級數(shù)展開式,以刻畫變階數(shù)微分方程的解在初始時(shí)刻的奇異性質(zhì).基于該級數(shù)展開式設(shè)計(jì)一種向后差商算法,得到這兩類模型具有較高精度的近似解.全文共分為四章.第一章介紹變階數(shù)微分方程的發(fā)展歷程,對變階數(shù)微分方程數(shù)值算法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行簡單的總結(jié),并給出本文的研究目的及主要內(nèi)容.第二章給出本文所需要的預(yù)備知識,包括幾種常見的變階數(shù)分?jǐn)?shù)階積分與微分的定義及其相關(guān)性質(zhì),函數(shù)在奇點(diǎn)的Puiseux級數(shù)的定義以及一些特殊函數(shù)在奇點(diǎn)處的Puiseux級數(shù)展開式.另外,介紹Gamma函數(shù)的相關(guān)知識,包括Gamma函數(shù)及其倒數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式以及Gamma函數(shù)及其倒數(shù)在一點(diǎn)處的級數(shù)展開式.最后給出Caputo變階數(shù)導(dǎo)數(shù)的向后差商離散格式.第三章研究一類廣義的時(shí)變粘彈性材料的本構(gòu)模型.首...

【文章頁數(shù)】：55 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 緒論
    1.1 分?jǐn)?shù)階微分方程與變階數(shù)微分方程的發(fā)展概況
    1.2 變階數(shù)微分方程數(shù)值算法的研究進(jìn)展
    1.3 本文的主要工作與研究目標(biāo)
    1.4 論文安排
第2章 預(yù)備知識
    2.1 變階數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的定義與性質(zhì)
    2.2 函數(shù)的Puiseux級數(shù)展開式
    2.3 Γ函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)及其漸近展開式
    2.4 變階數(shù)微分算子的數(shù)值離散
第3章 一類變階數(shù)粘彈性材料微分方程的漸近展開與數(shù)值算法
    3.1 方程的提出
    3.2 方程在初始時(shí)刻的Puiseux級數(shù)展開式
    3.3 源項(xiàng)在初始點(diǎn)代數(shù)且對數(shù)奇異的情形
    3.4 向后差商離散算法
    3.5 混合向后差分格式
第4章 一類變階數(shù)松弛方程的漸近展開與數(shù)值算法
    4.1 方程的提出
    4.2 方程在初始時(shí)刻的Puiseux級數(shù)展開式
    4.3 向后差商離散算法
    4.4 混合向后差分格式
結(jié)論與展望
參考文獻(xiàn)
致謝
攻讀學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文



本文編號：3810470