為了消除伽遼金有限元方法在求解非定常對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程時(shí)的偽數(shù)值振蕩,通過(guò)在擴(kuò)散項(xiàng)上添加指數(shù)型擬合因子,并采用三角形剖分上的線性伽遼金有限元將方程化為半離散化常微分方程;再采用四階四級(jí)龍格庫(kù)塔方法求解常微分方程.指數(shù)型擬合因子有效抑制了偽數(shù)值振蕩的產(chǎn)生,實(shí)現(xiàn)了非定常對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程的求解.對(duì)方法進(jìn)行了理論分析,并闡述了詳細(xì)計(jì)算過(guò)程.使用數(shù)值實(shí)例和天然氣管道泄漏模擬實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了方法的有效性. 

【文章來(lái)源】：沈陽(yáng)化工大學(xué)學(xué)報(bào). 2020,34(01)

【文章頁(yè)數(shù)】：6 頁(yè)

【部分圖文】：

最終時(shí)刻的誤差

根據(jù)上面的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程描述，給出了求解方法的算法流程(圖1)，通過(guò)使用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)．根據(jù)具體問(wèn)題，編寫(xiě)求解區(qū)域的幾何描述矩陣g，將求解區(qū)域進(jìn)行三角形剖分，獲得三角形單元矩陣t、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣p和邊界單元矩陣e，可使用MATLAB函數(shù)initmesh(g,h)實(shí)現(xiàn)．編寫(xiě)主函數(shù)MassStiffnessLoadCalculate計(jì)算各個(gè)時(shí)刻的總質(zhì)量矩陣、總剛度矩陣和總荷載向量，并對(duì)它們進(jìn)行總體組裝，獲得求解常微分方程的龍格庫(kù)塔法中系數(shù)及右端，再按照式(4)獲得線性方程組式(5)，最后線性方程組采用雙共軛梯度法進(jìn)行求解．其中主函數(shù)通過(guò)調(diào)用子函數(shù)ElementM assStiffnessLoadCalculate實(shí)現(xiàn)單元上的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和荷載向量的計(jì)算．另外，單元計(jì)算上述兩類積分，分別編寫(xiě)函數(shù)EulerIntegral、GaussIntegral2D和GaussIntegral1D實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)三角形單元上的高斯重積分和標(biāo)準(zhǔn)邊界單元上的高斯線積分．編寫(xiě)函數(shù)DealFirstBounCond采用置1法實(shí)現(xiàn)第一類邊界條件的加載．先劃掉系數(shù)矩陣A的該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)行和列中的元素，并按上述修正右端列向量b的其余行，得到最終的線性方程組．使用pdemesh和pdecont函數(shù)分別繪制最終時(shí)刻的解及解的等值線圖像．3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

其中:b=(1 1),c=1,f=e-ty(1-y)(1-2x+2ε)+e-tx(1-x)(1-2y+2ε)，ε=0.001．其解析解為u=e-txy(1-x)(1-y)．采用三角形網(wǎng)格，空間網(wǎng)格最大尺寸為0.05，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01，計(jì)算到最終時(shí)刻的結(jié)果見(jiàn)圖2，誤差見(jiàn)圖3．在不同空間和時(shí)間剖分尺寸下，最終時(shí)刻的總體相對(duì)誤差見(jiàn)表1.圖3 最終時(shí)刻的誤差

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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