分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用,可以更加準(zhǔn)確地描述一些反常擴(kuò)散現(xiàn)象.然而不同于整數(shù)階導(dǎo)數(shù),時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在初始時(shí)刻具有奇異性和記憶性,空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有非局部性,所以通常情況下往往很難求得方程的精確解,因此分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值解算法成為研究者關(guān)注的焦點(diǎn).眾所周知,能量是非常重要的物理不變量,所以研究方程的耗散性和保能量的數(shù)值方法就具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.鑒于此,本學(xué)位論文主要研究?jī)深?lèi)分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值方法,即重點(diǎn)研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階次擴(kuò)散方程的數(shù)值耗散性以及空間分?jǐn)?shù)階Schr（?）dinger方程的能量守恒性.主要內(nèi)容和研究結(jié)果如下:1.針對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階次擴(kuò)散方程,研究了方程在L²（Ω）中的耗散性,并證明了方程的解的衰減率為t^-α,0<α<1,這與整數(shù)階的指數(shù)衰減有本質(zhì)區(qū)別.隨后分別利用L1方法和有限元方法對(duì)時(shí)間Caputo導(dǎo)數(shù)和經(jīng)典的空間Laplace算子進(jìn)行離散,證明了該格式的數(shù)值耗散性.最后通過(guò)數(shù)值算例證實(shí)了理論結(jié)果的正確性.2.針對(duì)空間分?jǐn)?shù)階非線性Schr（?）dinger方程,建立了對(duì)于任何次冪的非線性項(xiàng)都... 

【文章來(lái)源】：西北大學(xué)陜西省 211工程院校

【文章頁(yè)數(shù)】：134 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【部分圖文】：

當(dāng)=1時(shí)數(shù)值解

西北大學(xué)博士學(xué)位論文圖3.1當(dāng)=1時(shí)數(shù)值解||(左)以及相應(yīng)的離散質(zhì)量()(中)和離散能量()(右)的誤差.圖3.2當(dāng)=0.8時(shí)數(shù)值解||(左)以及相應(yīng)的離散質(zhì)量()(中)和離散能量()(右)的誤差.本例中取計(jì)算區(qū)域Ω=[30,30],節(jié)點(diǎn)=101,時(shí)間步長(zhǎng)為4×105.在圖3.5和圖3.6中,分別描述了=1,0.8和=2時(shí)的數(shù)值解和質(zhì)量和能量誤差.圖3.7和圖3.8分別給出了=3和=1,0.8的數(shù)值解和質(zhì)量和能量的離散誤差.結(jié)果表明,非線性項(xiàng)的大小不僅影響解的寬度和高度,而且還影響能量誤差的精度,而且越小,誤差的精度越高.從質(zhì)量和能量的誤差可以看出,松弛法可以保持兩個(gè)不變量.由表3.2和表3.3可知,離散誤差的2范數(shù)和數(shù)值解的收斂速度與理論結(jié)果完全吻合,對(duì)于不同的指數(shù),它們的收斂階均為2.例3.3為了進(jìn)一步說(shuō)明我們方法的有效性,考慮如下二維非線性偏微分方程(,,)=(Δ)(,,)|(,,)|2(,,),0(,)=exp(22).(3.51)其中Ω=(3,3)2×(0,].61


本文編號(hào)：3531841