分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而新鮮的話題,在早期,由于缺乏物理機(jī)理解釋、應(yīng)用背景研究等原因,分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展緩慢.后來(lái)隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的研究?jī)?nèi)容由理論研究逐步轉(zhuǎn)向應(yīng)用研究,比如其在高能物理、反常擴(kuò)散、生物醫(yī)學(xué)工程、系統(tǒng)控制及復(fù)雜粘彈性材料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系中的應(yīng)用.近年來(lái),許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的求解進(jìn)行研究,但由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義中的微分-積分卷積算子的存在,使得其具有歷史依賴性和全局相關(guān)性的性質(zhì),因此直接求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解比較困難.同時(shí),根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階微分方程模型,關(guān)于方程中各個(gè)參數(shù)的變化對(duì)模型的影響的研究,對(duì)于分析問(wèn)題內(nèi)在物理機(jī)理及力學(xué)機(jī)制等具有重要的研究意義.但是,目前對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,主要采用的方法是“試差法”,這種方法效率低下同時(shí)相對(duì)不穩(wěn)定.因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程提出高效數(shù)值求解方法,并基于正問(wèn)題的數(shù)值方法,提出合適的模型參數(shù)估計(jì)方法是一項(xiàng)有意義的研究.本文主要研究分?jǐn)?shù)階微分方程的高效數(shù)值求解方法及其參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.首先,對(duì)于具有周期性邊界條件的時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程提出時(shí)間方向Crank-Nicolson有限差分、空間方向傅里葉譜方法... 

【文章來(lái)源】：山東大學(xué)山東省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁(yè)數(shù)】：131 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【部分圖文】：

圖２丄ａ?＝?０．５時(shí)，在時(shí)刻Ｚ?＝?１和Ｚ?＝?１／２數(shù)值解與解析解的對(duì)比（算例２．５．１）??

?？??－?」ｗ?－??１－?＼ｖ?１－?＼ｖ＼、??＂－Ｓ．?ｔ?、、、、．??－１０?■?－１０?■?－－ａ??？１２ｌ?■?＞?１?１?１?１??－１２?１?１?１?１?１?１?１???０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０?０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０??ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ?ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ??（ａ）?ａ?＝?０．４?（ｂ）?ａ?＝?０．８??圖２．２：?ｔ?＝?０．０００１，ｃｉ?＝?０．４和ａ?＝?０．８時(shí)，空間方向的Ｌ２誤差和孖誤差（算??例?２．５．１）??圖２．１給出當(dāng)ｃｖ?＝?０．５時(shí)，在時(shí)刻Ｚ?＝?１和ｉ?＝?１／２時(shí)，數(shù)值解與解析解的對(duì)比圖，??可以看出，數(shù)值解與解析解高度吻合．表２．１中列出當(dāng)ＪＶ?＝?６４時(shí)，對(duì)于不同的時(shí)間??？?１８?？??

?山東大學(xué)博士學(xué)位論文???比來(lái)驗(yàn)證算法的有效性，時(shí)間和空間方向的誤差分別記為??ｅｒｒｏｒ（ｒ）?＝?｜｜ｕ（ｘ，?ｉ，?０．０００２）?—?ｉ，ｒ）｜｜?，??ｅｒｒｏｒ（Ｎ）?—?｜｜？（ａ；，?ｔ，?１０２４）?—?ｕ（ｘ，?ｔ，?Ｎ）?｜｜．??圖２．３描述了方程（２．５．２）中ａ，盧的取值分別為（《，／３），｛０．７，１．２）和（０．３，１．８）時(shí)??在ｉ?＝?ｌ時(shí)的數(shù)值解．表２．３給出了當(dāng)ｉＶ?＝?６４時(shí)，不同取值下時(shí)間方向的Ｌ２誤??差、爐／２誤差、收斂階及計(jì)算所需的ＣＰＵ時(shí)間，相對(duì)應(yīng)的表２．４給出ｒ?＝?０．００１時(shí)，??不同（ａ，灼取值下空間方向的Ｌ２誤差、好￣２誤差、收斂階及計(jì)算所需的ＣＰＵ時(shí)間．??圖２．４給出關(guān)于空間方向ｉＶ的誤差圖像．綜合圖表信息可看出，采用有限差分傅里??葉譜方法求解時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程，可以得到空間方向譜精度，時(shí)間方向（２－ｃ〇階??精度，這與理論分析相一致．??０．６??＞?＇?＇???ｐ????ｆ?＼?—＊—?ａ＝０．７?０＝１．２??０．５?－?／?＼?｜—？—ｑ＝０．３＾１．８｜?－??－１０?－５?０?５?１０??ｘ??圖２．３：?ａ?＝?０．７，／？?＝?１．２和ａ?＝?０．３，／３?＝?１．８時(shí)，在時(shí)刻ｉ?＝?１時(shí)的數(shù)值解（算??例?２．５．２）??為了說(shuō)明ＬＭ方法在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中的有效性，在表２．５中，我們列出當(dāng)時(shí)空??分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)取值分別為（ａ，／３）?＝?（０．７，１．２）和（０．３，１．８）時(shí)，基于??正問(wèn)題的數(shù)值結(jié)果，不同初始猜測(cè)值和隨機(jī)擾動(dòng)誤差ａ下，采用ＬＭ方法所得到的??估計(jì)值、相對(duì)誤

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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[3]中間過(guò)程、臨界現(xiàn)象——分?jǐn)?shù)階算子理論、方法、進(jìn)展及其在現(xiàn)代力學(xué)中的應(yīng)用[J]. 徐明瑜,譚文長(zhǎng).  中國(guó)科學(xué)G輯:物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué). 2006(03)



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