自由振動下的分?jǐn)?shù)階單擺模型是經(jīng)典的整數(shù)階單擺模型的一種推廣,它在研究具有黏性特征下復(fù)雜介質(zhì)中的振動問題方面有很好的應(yīng)用.采用Laplace變換法和動力系統(tǒng)相圖分析法,分別對分?jǐn)?shù)階線性單擺模型和整數(shù)階非線性單擺模型的解及其動力學(xué)性質(zhì)進行了系統(tǒng)研究,特別是在分?jǐn)?shù)階模型方面的研究,獲得了一系列Mittag-Leffler函數(shù)形式的精確解,并進一步對二者之間解的動力學(xué)性質(zhì)進行比較,最終給出了相關(guān)結(jié)論,這些研究成果對于在復(fù)雜介質(zhì)中的振動問題方面的類似研究工作具有一定的參考價值. 

【文章來源】：云南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 2020,42(05)北大核心CSCD

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【部分圖文】：

圖1分?jǐn)?shù)階自由振動的單擺模型：解（13）和解（15）的動力學(xué)演化坐標(biāo)圖Fig.1Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphsofdynamicevolutionofsolutions(13)and(15)1.2方程（2）在初值條件下的精確解及其動力學(xué)性質(zhì)下面我們討論方程（2）的初值問題：

θ0=π3,α=0.75,να=5,l=10,g=9.8,θ0=π3,μ=0.3,α=0.75,να=5,m=20,l=10,g=9.8,為了直觀地展示有阻尼單擺模型方程（16）的運動規(guī)律和動力學(xué)性質(zhì)，我們以解（21）和（22）為例，分別繪出它們的坐標(biāo)圖形.取固定參數(shù)值我們繪出了解（21）的坐標(biāo)演化圖形（圖2（a））.類似地，如果取固定參數(shù)值我們利用解（22）的實部與虛部的和繪出了坐標(biāo)演化圖形（圖2（b））.2整數(shù)階非線性單擺模型方程（3）的精確解與動力學(xué)性質(zhì)下面我們討論方程（3）的初值問題：d2dt2+μmddt+glsin=0,(0)=θ0,′(0)=0,(23)θ0ddt其中，為單擺的最大偏轉(zhuǎn)角.令=y,則方程（23）化為ddt=y,dydt=glsinμmy.(24)若擺線的摩擦系數(shù)μ=0，則方程（24）可約化為ddt=y,dydt=glsin.(25)由此我們可以得到方程（25）的首次積分如下：12y2=glcos+h.(26)其中，h是一個積分常數(shù).為了便于下文討論，我們將方程（26）改寫為：H(,y)≡12y2glcos=h.(27)P(,y)=yQ(,y)=gl記，sin.為了方便討論，我們把方程（25）的雅克比矩陣和雅克比行列式寫成：圖2分?jǐn)?shù)階自由振動的單擺模型：解（21）和解（22）的動力學(xué)演化坐標(biāo)圖Fig.2Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphso

閉的曲線，它的相軌道呈螺旋狀，按順時針方向做螺旋遞進運動，最后趨于穩(wěn)定的平衡位置，這個平衡位置就是方程（25）的穩(wěn)定焦點.又從數(shù)值模擬的波形圖（即圖5）來看，有阻尼的單擺在自由振動時，振動幅度會隨著時間的增加而減小，即單擺從最大偏轉(zhuǎn)角開始擺動一段時間后就靜止下來了.從而,可以得出這樣的結(jié)論：有阻尼的單擺運動，即便是在理想狀態(tài)下也不會出現(xiàn)周期運動.顯然，整數(shù)階線性模型方程（4）的通解有3種：(t)=c1eμ2m12√μ2m24glt+c2eμ2m12√μ2m2+4glt,(t)=(c1+c2t)eμ2mt,(t)=eμ2mtc1cos12√4glμ2m2t+c1cos12√4glμ2m2t.但是，無論分?jǐn)?shù)階線性模型方程（1）和（2）的階數(shù)α怎么地趨近于1,它們的精確解也無法退化到上述3種精確解的形式，這就是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)的最大區(qū)別.圖3整數(shù)階自由振動的非線性單擺模型的相圖和波形圖Fig.3Phaseportraitsandwave-formgraphofnonlinearpendulummodelofinteger-orderfreevibration圖4不同初值條件下有阻尼的單擺模型的相圖Fig.4Phaseportraitofapendulummodelwithdampingunderdifferentinitialconditions832云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）http://www.yndxxb.ynu.edu.cn第42卷

【參考文獻】：
期刊論文
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