物理上分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子被稱為分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散通量,用于刻畫列維飛行下粒子長距跳躍的反常擴(kuò)散過程,它已經(jīng)成為近十年來分?jǐn)?shù)階偏微分方程的研究熱點(diǎn).目前關(guān)于這類算子的數(shù)值方法有兩個(gè)重要挑戰(zhàn):處理超奇異核和求解無界區(qū)域下的積分.因此本文主要研究如下幾個(gè)方面的課題:1.對分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子采用Caffarelli-Silvestre延拓技巧,將非局部問題局部化,構(gòu)造有限元格式并考慮相應(yīng)的穩(wěn)定性和誤差估計(jì);2.針對主值積分采用相應(yīng)的Hadamard有限部分積分,構(gòu)造有限元格式并分析求解.本文主要圍繞帶分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的Caputo型發(fā)展方程的有限元方法展開研究,主要分為以下幾個(gè)部分:第一章通過一維變量下隨機(jī)游走擴(kuò)散模型直觀地描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)過程,體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的物理意義,導(dǎo)出柯西主值分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)學(xué)定義.第二章首先介紹Caffarelli-Silvestre延拓思想,其次介紹第二類修正B essel函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),最后分析了延拓技巧下解的衰減性.第三章對分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子采用延拓技巧,時(shí)間離散采用Diethelm方法,考慮加權(quán)橢圓投影算子的誤差估計(jì),構(gòu)造有限元全離散格式并分析了有限... 

【文章來源】：上海大學(xué)上海市 211工程院校

【文章頁數(shù)】：83 頁

【學(xué)位級別】：博士

【部分圖文】：

圖１．１每條彩線代表一只海鳥（ａ）西西里島利諾薩島海鳥捕食路線（ｂ）亞得里亞海特??雷米蒂群島海鳥捕食路線．??

：：零?Ｉ??等??圖１．１每條彩線代表一只海鳥（ａ）西西里島利諾薩島海鳥捕食路線（ｂ）亞得里亞海特??雷米蒂群島海鳥捕食路線．??左跳躍的概率是１－４考慮ｎ步跳躍后，兩列粒子群跳躍運(yùn)動(dòng)后所在的：ｔ軸位置??ｎ＋１??為々＝（丨－?－）Ａｘ，?／?＝?０，?±１，土２，…，且第ｚ？個(gè)節(jié)點(diǎn)的粒子數(shù)為ｍ丨（ｎ），顯然土?ｍｉ（ｎ）?＝?２Ｎｐ．??為了量化粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，定義Ｗｚ．（／〇?＝?＾，顯然這樣的定義是滿質(zhì)量守恒的，??ｎ＋ｌ?ｎ＋１??即；￡?？加）＝１．因此很自然地刻畫ｎ步跳躍后粒子分布的期望為３＾ｉ）＝?Ｅ?％Ｍｉ（ｎ），方??ｉ＝－ｎ?ｉ＝—ｎ??ｎ＋ｌ??差為ｓＯ）?＝?２?－?無（”））２溝Ｗ．??ｉ＝－ｎ??首先考慮粒子任意時(shí)間Ａｒ內(nèi)每次僅能跳躍一個(gè)步長Ａ；ｃ的距離，令也就是??說粒子向左向右的跳躍概率相同為Ｌ如下圖１．２所示，??＾?Ｑ?＾?Ａ?＾??圖１．２粒子向左向右Ａｒ時(shí)間內(nèi)僅跳躍Ａｘ距離．??一步跳躍后，在第汁位置的粒子數(shù)的前后兩個(gè)時(shí)亥�。首兓瘽M足??？ｊ（ｎ?＋?１）?＝?＾ｕ；＿ｉ（ｎ）?＋?＾ｕ／＋ｉ（ｎ）

?（Ｌ１）??其中ｐ?ｉ?．菩為愛因斯坦擴(kuò)散系數(shù)，顯然（１．１）式為經(jīng)典的一維擴(kuò)散模型Ｗ?＝?Ｍｍ的離??散形式．圖１．３分別給出了實(shí)驗(yàn)測量下的正常擴(kuò)散現(xiàn)象與（１．１）式的數(shù)值仿真，可以看到??粒子的擴(kuò)散滿足高斯分布．??圖１．４粒子向左向右Ａｒ時(shí)間內(nèi)可跳躍任意距離．??然而粒子的活力使得粒子在單位時(shí)間間隔心內(nèi)并不僅僅每次只跳躍一個(gè)步??長／＾的距離．如圖１．４，記粒子向左向右跳躍任意６認(rèn)＝０，±１，±２，．．．）區(qū)間的步長；＾；＾的??概率符合冪

【參考文獻(xiàn)】：
博士論文
[1]二維分?jǐn)?shù)階超擴(kuò)散方程和非局部方程的數(shù)值算法[D]. 陳安.上海大學(xué) 2016
[2]三類分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有限元計(jì)算[D]. 趙振剛.上海大學(xué) 2011
[3]分?jǐn)?shù)階微分方程的有限元算法[D]. 鄭云英.上海大學(xué) 2011
[4]分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析與數(shù)值計(jì)算[D]. 鄧偉華.上海大學(xué) 2007



本文編號：3304399