發(fā)布時間：2021-07-10 18:55

　　最近有學(xué)者研究了整數(shù)階不同形式Schr?dinger方程的調(diào)制不穩(wěn)定性,研究發(fā)現(xiàn)對于同一個Schr?dinger方程在不同初值條件下其調(diào)制不穩(wěn)定性表現(xiàn)出相同的行為.本文主要研究三種不同類型的空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程在不同的初值條件下是否仍表現(xiàn)出這種相似的調(diào)制不穩(wěn)定性行為.并且研究了其調(diào)制不穩(wěn)定性在不同參數(shù)條件下的變化情況.調(diào)制不穩(wěn)定性在很多領(lǐng)域都都得到了深入研究,特別是在數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域中研究十分廣泛.本文主要研究三種不同的空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程的調(diào)制不穩(wěn)定性,主要使用譜方法對這三類空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程進(jìn)行數(shù)值模擬,并且通過Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則驗(yàn)證了這些方程出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性條件,也深入研究了這些方程的振蕩邊界.文中進(jìn)一步研究了不同初值條件下以及不同的分?jǐn)?shù)階Laplace算子的指標(biāo)對方程調(diào)制不穩(wěn)定性的影響.并且使用了分裂譜方法以及差分格式的譜方法對三個方程進(jìn)行了數(shù)值模擬,分別研究了三種不同的空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程的調(diào)制不穩(wěn)定性,并且研究了這些方程振蕩區(qū)域,振幅以及振蕩邊界受不同參數(shù)的影響.具體可以得到,... 

【文章來源】：西北大學(xué)陜西省 211工程院校

【文章頁數(shù)】：58 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【部分圖文】：

初值(1.12a),(1.12b),(1.12c)

西北大學(xué)碩士學(xué)位論文在方程(2.4)作傅里葉變換和傅里葉逆變換可將等式中的分?jǐn)?shù)階Laplace算子化簡為可計(jì)算的方程,然后可將該方程關(guān)于這兩個指數(shù)函數(shù)合并同類項(xiàng)并根據(jù)系數(shù)解方程,可以得到以下的方程組并分離()和()的系數(shù)可得方程組11||+21+22=0,22||+22+21=0.(2.7)將上述方程組整理可得頻率的表達(dá)式2=24||.(2.8)該等式可以幫助我們判定常規(guī)空間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger方程(1.9)是否存在調(diào)制不穩(wěn)定性,如果存在可以根據(jù)該等式求出振蕩區(qū)域以及振蕩邊界.圖2.1:當(dāng)分別取2,1.5,1.02時隨的變化圖像.根據(jù)Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則,如果是任意實(shí)數(shù),方程(1.9)的狀態(tài)解(,)中的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)全部為虛數(shù),此時方程的解是趨于穩(wěn)定的.如果不是任意實(shí)數(shù),該方程的狀態(tài)解(,)中的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)存在實(shí)數(shù),此時方程的解可能呈指數(shù)型增長,此時是是不穩(wěn)定的,因此會出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性.從該等式可以看出,當(dāng)>0時,會出現(xiàn)復(fù)數(shù)的情況,這時就會出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定現(xiàn)象.并且振蕩頻率會受到分?jǐn)?shù)階Laplace算子的指標(biāo)的影響,那么整體的振蕩結(jié)果也會隨著的變化而變化.由圖2.1可知,(2.8)式中關(guān)于,的關(guān)系式橫軸為,縱軸為,隨著的變小,在的一個周期內(nèi)的取值變小,從而可知隨著分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算11

西北大學(xué)碩士學(xué)位論文Fd表示離散的傅里葉變換,F1d表示離散的傅里葉逆變換,是線性分?jǐn)?shù)階方程(2.9)數(shù)值解,非線性方程(2.10)的數(shù)值解.S2.4數(shù)值結(jié)果通過以上的數(shù)值方法,令T=200,空間=[100,100],時間=[0,10],空間節(jié)點(diǎn)數(shù)=1001,時間節(jié)點(diǎn)數(shù)=1001.即我們將空間和時間進(jìn)行離散且取空間步長為Δ=0.2,時間步長Δ=0.01.得出了常規(guī)空間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger方程(1.9)在初值(1.12a),(1.12b),(1.12c)分別取Laplace算子的指標(biāo)=2,1.6,1.2時的數(shù)值結(jié)果,并且模擬了在時刻=10時的切面圖.為了便于比較,文中取空間=[50,50],時間=[0,10]的數(shù)值結(jié)果.圖2.2:|U|在初值(1.12a),=2,1.6,1.2的俯視圖.圖2.3:初值(1.12a),=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖.圖2.2是常規(guī)空間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger方程(1.9)分別取=2,1.6,1.2時的數(shù)值結(jié)果,為了方便比較我們這里使用的是該數(shù)值結(jié)果的俯視圖,其中綠色部分為|(,)|=1,藍(lán)色部分為0<|(,)|<1,黃色部位為|(,)|>1.圖2.3是常規(guī)空間分?jǐn)?shù)階Schr¨odinger方程(1.9)的數(shù)值結(jié)果在=10時刻的切面圖,分別15


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