發(fā)布時間：2020-12-31 03:59

　　分?jǐn)?shù)階偏微分方程是一種描述反常擴(kuò)散現(xiàn)象的行之有效的方法.基于不同的應(yīng)用背景,學(xué)者們提出了不同形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型.由于通常情況下分?jǐn)?shù)階問題不存在可用的解析解,數(shù)值方法在這些模型的實際檢驗和應(yīng)用中起著舉足輕重的作用.不同于整數(shù)階導(dǎo)數(shù),分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有（弱）奇異性、非局部性,有時甚至還涉及時空耦合性,這給數(shù)值方法的設(shè)計、分析和實施帶來了不少困難和挑戰(zhàn).因此,雖然分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解近幾十年來受到科研人員的大量關(guān)注,也取得了不少進(jìn)展,但它仍然是一個充滿活力的學(xué)科,還有不少問題亟待解決.我們將探討一些具體模型的數(shù)值解決方案.本文有下述章節(jié)構(gòu)成:第一章,概述論文的研究背景和主要內(nèi)容,包括反常擴(kuò)散的概念、幾種重要的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型、分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解的研究現(xiàn)狀,以及本文的研究內(nèi)容和創(chuàng)新之處等.第二章,探討回火分?jǐn)?shù)階Laplace方程的Riesz基Galerkin方案.回火分?jǐn)?shù)階Laplace算子是以積分形式給出的導(dǎo)數(shù),是分?jǐn)?shù)階Laplace算子的推廣.在統(tǒng)計上它表示對稱的回火-穩(wěn)定L′evy過程的生成子,在求解粒子的首次退出時間和逃逸概率方面有著重要的應(yīng)用.本章將做三個方面的工作,即齊次邊界條... 

【文章來源】：蘭州大學(xué)甘肅省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：156 頁

【學(xué)位級別】：博士

【文章目錄】：
中文摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 反常擴(kuò)散
    1.2 幾類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型
        1.2.1 典范分?jǐn)?shù)階偏微分方程
        1.2.2 回火分?jǐn)?shù)階偏微分方程
        1.2.3 回火分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程
    1.3 分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解的研究現(xiàn)狀
    1.4 論文研究內(nèi)容和創(chuàng)新之處
    1.5 論文結(jié)構(gòu)安排
第二章 回火分?jǐn)?shù)階Laplace方程的Riesz基Galerkin方案
    2.1 準(zhǔn)備知識
        2.1.1 分?jǐn)?shù)階Soboley空間
        2.1.2 回火分?jǐn)?shù)階Laplace算子的一些性質(zhì)
    2.2 齊次邊值問題的弱解和適定性
        2.2.1 弱解的定義
        2.2.2 弱解的存在唯一性
    2.3 弱解的有限維逼近和收斂性分析
        2.3.1 單尺度B-樣條基函數(shù)和多尺度Reisz基函數(shù)
        2.3.2 收斂性分析
    2.4 微分矩陣的生成及預(yù)處理
        2.4.1 剛度矩陣的計算
        2.4.2 條件數(shù)和預(yù)處理
    2.5 帶有非齊次狄里克萊邊界條件的問題的弱解
    2.6 數(shù)值結(jié)果
    2.7 本章小結(jié)
    2.8 附錄:PCG迭代和快速矩陣向量乘積
第三章 回火分?jǐn)?shù)階Laplace方程的有限差分方案
    3.1 α ∈（0,1）時的有限差分方案
        3.1.1 差分方案的推導(dǎo)
        3.1.2 誤差估計
    3.2 算法實施細(xì)節(jié)
        3.2.1 剛度矩陣的結(jié)構(gòu)和特征值分布
        3.2.2 兩種有效的預(yù)處理子
    3.3 α ∈[1,2)時的有限差分方案
    3.4 數(shù)值結(jié)果
    3.5 本章小結(jié)
    3.6 附錄:Gauss-Jacobi積分和不完全Cholesky分解
第四章 含積分-微分型回火分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程的有限元方案
    4.1 預(yù)備知識
        4.1.1 回火分?jǐn)?shù)階微積分的定義
        4.1.2 回火分?jǐn)?shù)階微積分的基本性質(zhì)及一些不等關(guān)系
    4.2 回火分?jǐn)?shù)階微分算子的變分性質(zhì)
    4.3 回火分?jǐn)?shù)階模型的Galerkin和Petrov-Galerkin逼近
        4.3.1 Galerkin逼近
        4.3.2 Petrov-Galerkin逼近
        4.3.3 誤差估計及算法實施
    4.4 數(shù)值結(jié)果
    4.5 本章小結(jié)
    4.6 附錄:Levy過程與空間回火分?jǐn)?shù)階偏微分方程
第五章 時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的輪廓積分和有理逼近方案
    5.1 空間有限元半離散格式的穩(wěn)定性和收斂性
        5.1.1 半離散格式的穩(wěn)定性
        5.1.2 半離散格式的收斂性
    5.2 分?jǐn)?shù)階時間微分方程的數(shù)值積分逼近
z的最優(yōu)Chebyshev有理逼近的數(shù)值積分方法">        5.2.1 基于e^z的最優(yōu)Chebyshev有理逼近的數(shù)值積分方法
        5.2.2 基于逆Laplace變換和拋物線輪廓的數(shù)值積分方法
        5.2.3 基于Dunford-Taylor積分表達(dá)式和圓周輪廓的數(shù)值積分方法
    5.3 數(shù)值結(jié)果
    5.4 本章小結(jié)
    5.5 附錄:CTWR模型與分?jǐn)?shù)階偏微分方程
第六章 回火時間分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的有限差分和有限元方案
    6.1 模型的等價形式及物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的離散
        6.1.1 導(dǎo)出方程（6.1）的等價形式
        6.1.2 回火分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的離散
    6.2 空間有限差分逼近方案
        6.2.1 導(dǎo)出有限差分方案
        6.2.2 全離散格式的穩(wěn)定性和收斂性
    6.3 空間有限元逼近方案
        6.3.1 導(dǎo)出有限元逼近方案
        6.3.2 全離散格式的穩(wěn)定性和收斂性
    6.4 數(shù)值結(jié)果
    6.5 本章小結(jié)
    6.6 附錄:結(jié)論（6.19）的證明
第七章 總結(jié)與展望
    7.1 總結(jié)
    7.2 展望及未來工作
參考文獻(xiàn)
在學(xué)期間的研究成果
致謝



本文編號：2948918