無(wú)網(wǎng)格法是一類(lèi)求解偏微分方程初邊值問(wèn)題的新型數(shù)值計(jì)算方法。不同于傳統(tǒng)有限元、有限差分和邊界元等基于網(wǎng)格的數(shù)值計(jì)算方法,無(wú)網(wǎng)格法通過(guò)節(jié)點(diǎn)信息構(gòu)造插值基函數(shù),很大程度上克服了傳統(tǒng)方法對(duì)網(wǎng)格的依賴(lài)性。在涉及大變形、高維復(fù)雜域、裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展和移動(dòng)邊界等問(wèn)題中顯示出了明顯的優(yōu)越性。廣義有限差分法是近年來(lái)剛剛興起的一種新型無(wú)網(wǎng)格方法。該方法基于多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和加權(quán)最小二乘擬合,將控制方程中未知參量的各階偏導(dǎo)數(shù)表示為相鄰節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的線性組合,克服了傳統(tǒng)有限元等基于網(wǎng)格的方法對(duì)網(wǎng)格的依賴(lài)性。該方法生成的系數(shù)矩陣是稀疏陣,很容易通過(guò)各種稀疏矩陣求解器快速求解。目前,該方法在國(guó)內(nèi)外發(fā)展迅速,廣泛應(yīng)用于求解各種科學(xué)和工程問(wèn)題。本文探討了廣義有限差分法在聲學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用,并首次將其應(yīng)用于求解Helmholtz反問(wèn)題。首先,假設(shè)求解域的所有邊界條件都可測(cè),在此基礎(chǔ)上對(duì)此二維和三維Helmholtz正問(wèn)題進(jìn)行了精確求解,并分析了算法的穩(wěn)定性與收斂性。在Helmholtz反問(wèn)題中,本文假設(shè)求解域的部分邊界條件不可測(cè)(Cauchy反問(wèn)題),通過(guò)在剩余邊界上引入額外的邊界條件,采用廣義有限差分法對(duì)不可測(cè)邊界上的物理參量進(jìn)行了預(yù)測(cè)和模擬。數(shù)值算例表明,廣義有限差分法在模擬反問(wèn)題時(shí)可以最大限度地避免系數(shù)矩陣的病態(tài)特性,即使邊界條件引入較大的擾動(dòng)誤差,依然可以得到精確穩(wěn)定的數(shù)值結(jié)果。
【學(xué)位單位】：青島大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類(lèi)】：O241.82
【部分圖文】：

青島大學(xué)碩士學(xué)位論文第二章 廣義有限差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)義有限差分法基本思想一章簡(jiǎn)單介紹了廣義有限差分法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，下面我們將算法進(jìn)行詳般性，考慮下面的二階偏微分方程問(wèn)題： 2 2 21 2 3 4 52 2, ,, , , ,u u u u ua a a a a b x y x yx y x y x yu x y f x y x y ，用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式和加權(quán)最小二乘法，可以將未知變量的導(dǎo)數(shù)表示為數(shù)值的線性組合。

圖 3.1 二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題計(jì)算域示意圖例：穩(wěn)態(tài)方形域ltz 方程[32-33]正問(wèn)題為例進(jìn)行研究等問(wèn)題，通�？梢岳� Helmhol其中預(yù)設(shè)了波函數(shù)（它的物理內(nèi)弦或正弦函數(shù)。Helmholtz 正問(wèn)題條件以及混合邊界條件。下面考 ，0 x, y 1，邊界為 = ，復(fù)選點(diǎn)，計(jì)算域四個(gè)角的 4 個(gè)點(diǎn)，總點(diǎn)數(shù) n 1596。如圖 3.2 所示

17圖 3.2 Helmholtz 問(wèn)題方形域均勻布點(diǎn)示意圖下面我們利用兩種數(shù)據(jù)擾動(dòng)來(lái)模擬真實(shí)問(wèn)題，以驗(yàn)證廣義有限差分法求解與穩(wěn)定性。第一種模擬：為了模擬真實(shí)問(wèn)題的內(nèi)部數(shù)據(jù)，仍以140dn 的步長(zhǎng)均分邊界內(nèi)部點(diǎn)數(shù)量不變的前提下，隨機(jī)散布點(diǎn)陣，如圖 3.3 所示。第二種模擬：在實(shí)際工程問(wèn)題中，邊界條件的獲取總會(huì)伴隨一定的誤差，因加入了一定的數(shù)據(jù)擾動(dòng)來(lái)模擬真實(shí)問(wèn)題的誤差，使邊界條件滿足：u x , y exp x y 1 a rand , x ,y a 0,1%,2%,3%為擾動(dòng)參數(shù)， rand -1,1為 MATLAB 產(chǎn)生的隨機(jī)誤差參數(shù)
【參考文獻(xiàn)】

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1 姜欣榮;陳文;;基本解方法與邊界節(jié)點(diǎn)法求解Helmholtz方程的比較研究[J];計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào);2011年03期

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本文編號(hào)：2890686