Finland著名的數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna在亞純函數(shù)值分布理論的建立過(guò)程中有著極大的貢獻(xiàn)。二十世紀(jì)二十年代,他注意到可以很形象、自然地刻畫亞純函數(shù)增長(zhǎng)性的特征函數(shù),以及非常重要的兩個(gè)定理:Nevanlinna第一、二基本定理。這不僅在亞純函數(shù)值分布研究史上具有著里程碑式的意義,同時(shí)也成為了研究復(fù)分析所不可或缺的一個(gè)強(qiáng)大的理論工具。函數(shù)的唯一性和分擔(dān)值之間有著極為緊密的聯(lián)系。早在1926年,Nevan-linna便利用其值分布理論證明了四值定理和五值定理。在這之后的幾十年間,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家們開始涉足這一領(lǐng)域,并且涌現(xiàn)出了大量有關(guān)于亞純函數(shù)或者整函數(shù)與分擔(dān)值的唯一性結(jié)論。隨著Nevanlinna理論不斷地深化、成熟和豐富,也在其他眾多相關(guān)領(lǐng)域,比如動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)微分方程、解析數(shù)論、多復(fù)變等方面得到了極為廣泛的推廣和應(yīng)用,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。近一個(gè)世紀(jì)以來(lái),經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外眾多數(shù)學(xué)工作者們的深入研究,在亞純函數(shù)的唯一性理論方面已經(jīng)給出了很多有趣、簡(jiǎn)潔、完美的結(jié)果。其中很重要的是引入了差分、代數(shù)體函數(shù)和導(dǎo)數(shù),并且結(jié)合函數(shù)自身來(lái)研究其值分布問(wèn)題。目前雖然已經(jīng)有很多不錯(cuò)的結(jié)論,但仍然有不少問(wèn)題尚未解決或有待進(jìn)一步改進(jìn)和完善。本文在我的導(dǎo)師扈培礎(chǔ)教授嚴(yán)格耐心的指導(dǎo)下,認(rèn)真研讀了有關(guān)差分算子以及代數(shù)體函數(shù)方面的大量文獻(xiàn),在前人的基礎(chǔ)上對(duì)其值分布問(wèn)題展開了研究工作。主要介紹了 Nevanlinna理論在差分算子以及代數(shù)體函數(shù)中的推廣和應(yīng)用,改進(jìn)完善了一些己有的結(jié)果。首先,對(duì)于任意一個(gè)亞純函數(shù)及其k階導(dǎo)數(shù)的值分布問(wèn)題。儀洪勛(見文獻(xiàn)[17])在1994年給出了一個(gè)值分布定理,并且得到在整函數(shù)情形下的推論。2015年,曾翠萍(見文獻(xiàn)[18])將該定理推廣到了涉及差分算子的有限級(jí)亞純函數(shù)中�？紤]了形式更為一般的差分算子,將文獻(xiàn)[17]中的k階導(dǎo)數(shù)替換成了 階差分算子,相應(yīng)地也得到了在有限級(jí)整函數(shù)情形下的一個(gè)推論。本文中,我們減弱了曾翠萍(見文獻(xiàn)[18])定理的條件,證明了如下結(jié)論。定理1.設(shè)f(z)和g(z)為亞純函數(shù),且λ(f)∞,λ(g)∞。F(z)和G(z)分別為f(z)與g(z)的一般形式的差分算子,且F(z)≠C,G(z)≠ C。如果F(z)和G(z)CM分擔(dān)1,f(z)和g(z)CM分擔(dān)∞,且:N(r,1/f)+N(r,g/1)+(3k-1)N(r,f)(λ + o(1))T(r),其中,0λ1,T(r)=max{T(r,f),T(r,g)},那么 F.G≡1或F≡G。該定理擴(kuò)大了k的范圍,因此改進(jìn)了文獻(xiàn)[18]中的結(jié)論。此時(shí),文獻(xiàn)[18]中的推論1(整函數(shù)情形)仍是成立的。其次,對(duì)于代數(shù)體函數(shù)的唯一性問(wèn)題。Ullrich,Valiron,Eremenko和何育贊等已經(jīng)給出了很多完美簡(jiǎn)潔的結(jié)論。2014年,高宗升與姜云波(見文獻(xiàn)[37])深入探討了代數(shù)體函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的唯一性問(wèn)題,得到一個(gè)唯一性定理。本文中,我們將其定理中的條件“CM分擔(dān)0”改進(jìn)為“CM分擔(dān)任一有限復(fù)數(shù)”。證明了如下結(jié)論:定理2.設(shè)w(z)是一個(gè)v(v≥2)值代數(shù)體函數(shù)。w1,w2,…,wv是其v個(gè)單值解析分支,b1,b2,…,b2v是互異的2v個(gè)有限復(fù)數(shù)。如果w(z)和w'(z)CM分擔(dān)b1,b2,…,b2v,且(?)c,R為兩個(gè)有限非負(fù)的實(shí)數(shù),使得當(dāng)|z|=r時(shí),有|wj(z)|c和|wj'(z)|c(j= 1,2,…,v),則w(z)三 w'(z)。由于代數(shù)體函數(shù)研究的困難主要就在其分支點(diǎn)上,因此如果我們考慮其分支點(diǎn)相對(duì)較少的一類特殊函數(shù),即滿足條件Nx(r,w)=o(T(r,w),將會(huì)簡(jiǎn)化研究的難度。對(duì)于這一類特殊函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的唯一性問(wèn)題。2011年,劉慧芳(見文獻(xiàn)[34])證明了如下定理:設(shè)w(z)是個(gè)v值代數(shù)體函數(shù),且Nx(r,w)=o(T(r,w)),b1,b2是互不相同的有窮非零復(fù)數(shù)。如果w(z)和w'(z)CM分擔(dān)0,b1,b2,那么 wz)三 w'(z)。本文中,我們減弱了該定理的條件,證明了“CM分擔(dān)b1,b2”可替換為“IM 分擔(dān)b1,b2。定理3.設(shè)w(z)是一個(gè)v值代數(shù)體函數(shù),且Nx(r,w)=0(T(r,w))。如果w(z)和w'(z)CM分擔(dān)0,IM分擔(dān)互異的兩個(gè)有窮非零復(fù)數(shù)b1,b2,那么w(z)= w'(z)。從該定理的證明過(guò)程可看出條件“CM分擔(dān)0”起著很重要的作用。我們進(jìn)一步證明了“CM分擔(dān)0”這一特殊條件可用“IM分擔(dān)三個(gè)有窮非零復(fù)數(shù)”來(lái)替代,得到如下結(jié)論。定理4.設(shè)w(z)是一個(gè)v值代數(shù)體函數(shù),且Nx(r,w)= o(T(r,w))。如果w(z)和w'(z)IM分擔(dān)互異的五個(gè)有窮非零復(fù)數(shù)b1,b2,…,b5,那么w(z)= w'(z)。顯然,定理3和定理4改進(jìn)和推廣了劉慧芳的結(jié)論。本文分為以下三章。第一章,敘述了本文所需的一些基礎(chǔ)知識(shí)。簡(jiǎn)潔扼要地介紹了 Nevan-linna理論的基本定義、相關(guān)記號(hào)及一些重要結(jié)果。第二章,我們探討了有限級(jí)亞純函數(shù)一般形式的差分算子的值分布問(wèn)題。推廣了曾翠萍關(guān)于差分算子值分布的一個(gè)結(jié)果。第三章,我們討論了有關(guān)代數(shù)體函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的值分布問(wèn)題。首先改進(jìn)了高宗升和姜云波的一個(gè)結(jié)論。其次考慮了一類特殊的代數(shù)體函數(shù),推廣了劉慧芳的相關(guān)結(jié)果。
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O174.52
【文章目錄】：
中文摘要
英文摘要
第一章 預(yù)備知識(shí)
    §1.1 Nevanlinna值分布理論基本定義
    §1.2 Nevanlinna值分布理論重要定理
第二章 有限級(jí)亞純函數(shù)差分算子的值分布問(wèn)題
    §2.1 背景知識(shí)及主要結(jié)果
    §2.2 主要引理
    §2.3 定理的證明
第三章 代數(shù)體函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的值分布問(wèn)題
    §3.1 背景知識(shí)及主要結(jié)果
    §3.2 主要引理
    §3.3 定理的證明
參考文獻(xiàn)
致謝
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相關(guān)期刊論文 前9條

1 曾翠萍;;亞純函數(shù)差分算子與分擔(dān)值[J];中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2015年03期

2 祁曉光;楊連中;;亞純函數(shù)與其q階差分分擔(dān)公共值問(wèn)題的研究[J];數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào);2014年06期

3 劉慧芳;;代數(shù)體函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的唯一性[J];數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào);2014年05期

4 姜云波;高宗升;;涉及CM分擔(dān)值的代數(shù)體函數(shù)的唯一性[J];數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào);2014年04期

5 劉惠芳;孫道椿;;ON THE SHARING VALUES OF ALGEBROID FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES[J];Acta Mathematica Scientia;2013年01期

6 劉慧芳;孫道椿;;與其導(dǎo)數(shù)具有公共值的代數(shù)體函數(shù)的唯一性定理[J];數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào);2011年05期

7 王建平;關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的唯一性[J];紹興師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1994年05期

8 ;Unicity Theorems for Entire or Meromorphic Functions[J];Acta Mathematica Sinica(New Series);1994年02期

9 儀洪勛;關(guān)于亞純函數(shù)的唯一性[J];數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);1988年04期

本文編號(hào)：2890249