本文借助于分支理論與數(shù)值模擬研究了兩類非線性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.論文首先討論了一般的羅斯勒系統(tǒng),證明了系統(tǒng)存在折分支,Hopf分支,折-Hopf分支以及Bogdanov-Takens分支,此外還判斷了 Hopf分支的方向和極限環(huán)的穩(wěn)定性,之后借助于Auto與MATLAB給出分支圖以及相圖等來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證理論結(jié)果,并且發(fā)現(xiàn)Hopf分支可以是超臨界的,次臨界的或者退化的,當(dāng)選取不同的分支參數(shù)時(shí),出現(xiàn)的退化的Hopf分支的個(gè)數(shù)不同.接著,本文討論了一般猝變方程的動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)存在折分支.,Hopf分支,折-Hopf分支以及Bogdanov-Takens分支.在這里,我們給出了相應(yīng)的數(shù)值模擬,并且發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在極限環(huán)的折分支.
【學(xué)位單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【部分圖文】：

２．４數(shù)值模擬??在這一部分，我們將用數(shù)值模擬來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)丨２．１丨存在Ｈｏｐｆ分支，折分支，??折－Ｈｏｐｆ分支，Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支．圖＿２?－圖５是一些分支圖、極限環(huán)圖和分支曲線??圖．這些圖都是通過(guò)軟件Ｍａｔｃｏｎｔ和Ａｕｔｏ?［２２－２４］繪制．??在圖２中，⑷是以知為自由參數(shù)的分支圖．對(duì)于系統(tǒng)（２．１）的初值參數(shù)選取參考??表?１，初始點(diǎn)是（１．７７４５９６６６９２４，?１．７７４５９６６６９２４，－１．７７４５９６６６９２４）．實(shí)線上的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定??的，虛線上的是不穩(wěn)定的．藍(lán)色填充的正方形代表Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，無(wú)填充的正方形代表折??分支點(diǎn)．由圖可以看到系統(tǒng)（２．１）存在一個(gè)Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，一個(gè)折分支點(diǎn)．當(dāng)＝?０．９５７１０９??時(shí)，系統(tǒng)（２．１）在平衡點(diǎn)（－０．７０７１０８，?－０．７０７１０８，?０．７０７１０８）處發(fā)生亞臨界Ｈｏｐｆ分支，且此??穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的第一李雅普諾夫系數(shù)大于０，故在此平衡點(diǎn)附近存在一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)．??當(dāng)＝?－０．５時(shí)，系統(tǒng)（２．１）在平衡點(diǎn)（１，１，－１）處發(fā)生折分支．（ｂ）是Ｈｏｐｆ分支產(chǎn)生的??不穩(wěn)定極限環(huán)．圖３里我們選取黑色的線代表折分支曲線

方形代表Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，無(wú)填充的正方形代表折分支點(diǎn)．??和丑２都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，而從左向右過(guò)丑ｔ點(diǎn)時(shí)，平衡點(diǎn)特征值穩(wěn)定性的個(gè)數(shù)發(fā)生??了變化，但不改變平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．圖７是極限環(huán)圖．（ａ）亞臨界Ｈｏｐｆ分支產(chǎn)生的不穩(wěn)定??極限環(huán)，（ｂ）超臨界Ｈｏｐｆ分支產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)．當(dāng)／ｃ８?＝?０．９２７３３８１時(shí)，系統(tǒng)（３．２）出現(xiàn)??極限環(huán)的折分支（圖８．?ａ）．這是由于Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)歷產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)與Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)??、／／２產(chǎn)生的不穩(wěn)定極限環(huán)相碰產(chǎn)生的．在圖８．?ｂ中，我們可以更直觀的看到這一過(guò)程．??在圖９中，我們選取黑色的線代表折分支曲線，藍(lán)色的線代表Ｈｏｐｆ分支曲線．白色??的圓代表Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支點(diǎn)，藍(lán)色的三角形代表折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，白色的三角形代??表退化的Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)：（ａ）是／ｃ７?＝?１．７５以心，知為自由參數(shù)時(shí)的分支曲線圖，藍(lán)色的??三角形是折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，白色的三角形代表退化的Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)．藍(lán)色的三角形在折分??支曲線與Ｈｏｐｆ分支曲線的相交處，代表折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)（ｆｃ４?＝?０．８７５００１，知＝０．８７４９９９），??在這個(gè)平衡點(diǎn)其特征值為Ａ〇?＝?０

但不改變平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．圖７是極限環(huán)圖．（ａ）亞臨界Ｈｏｐｆ分支產(chǎn)生的不穩(wěn)定??極限環(huán)，（ｂ）超臨界Ｈｏｐｆ分支產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)．當(dāng)／ｃ８?＝?０．９２７３３８１時(shí)，系統(tǒng)（３．２）出現(xiàn)??極限環(huán)的折分支（圖８．?ａ）．這是由于Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)歷產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)與Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)??、／／２產(chǎn)生的不穩(wěn)定極限環(huán)相碰產(chǎn)生的．在圖８．?ｂ中，我們可以更直觀的看到這一過(guò)程．??在圖９中，我們選取黑色的線代表折分支曲線，藍(lán)色的線代表Ｈｏｐｆ分支曲線．白色??的圓代表Ｂｏｇｄａｎｏｖ－Ｔａｋｅｎｓ分支點(diǎn)，藍(lán)色的三角形代表折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，白色的三角形代??表退化的Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)：（ａ）是／ｃ７?＝?１．７５以心，知為自由參數(shù)時(shí)的分支曲線圖，藍(lán)色的??三角形是折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)，白色的三角形代表退化的Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)．藍(lán)色的三角形在折分??支曲線與Ｈｏｐｆ分支曲線的相交處，代表折－Ｈｏｐｆ分支點(diǎn)（ｆｃ４?＝?０．８７５００１，知＝０．８７４９９９），??在這個(gè)平衡點(diǎn)其特征值為Ａ〇?＝?０，?Ａ２，３?＝?士１．７３２；．通過(guò)軟件Ａｕｔｏ模擬，我們發(fā)現(xiàn)一條??藍(lán)色線上的平衡點(diǎn)的第一李雅普諾夫系數(shù)小于零
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