發(fā)布時間：2020-11-10 20:43

　　 近幾十年來,分?jǐn)?shù)階微積分理論在濃厚的應(yīng)用學(xué)科背景的影響下,引起了數(shù)學(xué)界的重視和廣泛關(guān)注,逐漸成為一個新的活躍的研究領(lǐng)域。目前,分?jǐn)?shù)階積分微分方程已廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)物理學(xué)、混沌與湍流、高分子材料的解鏈和隨機過程等諸多科學(xué)領(lǐng)域中,并取得了一些可喜的研究成果。對分?jǐn)?shù)階積分微分方程的研究有著十分重要的理論意義和實際的應(yīng)用價值,特別是從實際問題中抽象出來的分?jǐn)?shù)階積分微分方程問題成為許多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點。但是絕大數(shù)分?jǐn)?shù)階積分微分方程很難得到其解析解,因而長期以來,學(xué)者們一直致力于研究其數(shù)值解。雖然現(xiàn)在學(xué)者們已提出一些求解分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值方法,但是理論體系仍然需要進(jìn)一步完善。因此,本文將對非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程和多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程的數(shù)值解法進(jìn)行探討。本文主要基于廣義Hat函數(shù)的算子矩陣法與改進(jìn)Hat函數(shù)的配置法分別來研究非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程和多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程的數(shù)值算法。對于非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程,先利用廣義Hat函數(shù)推導(dǎo)求出非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程的積分算子矩陣,將該類方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組,從而求出其數(shù)值解。然后通過數(shù)值算例,進(jìn)行誤差分析,并與CAS小波方法的數(shù)值結(jié)果相對比,說明了本文所提方法的有效性和可行性。對于多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程,首先證明該類方程解的存在唯一性,簡要闡述配置法的基本理論。以改進(jìn)Hat函數(shù)為基底的配置法求解多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程,利用改進(jìn)Hat函數(shù)的性質(zhì)及配置法導(dǎo)出離散方程,將積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解。根據(jù)投影算子理論,證明了所提方法的收斂性,并給出了誤差估計式。數(shù)值算例的結(jié)果與其他文獻(xiàn)進(jìn)行比較,驗證了本文所提算法是一個高精度算法。
【學(xué)位單位】：電子科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
abstract
第一章 緒論
    1.1 課題背景及研究意義
    1.2 分?jǐn)?shù)階積分微分研究現(xiàn)狀
    1.3 論文的主要內(nèi)容及章節(jié)安排
第二章 預(yù)備知識
    2.1 分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)定義
        2.1.1 Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)
        2.1.2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分
        2.1.3 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)
        2.1.4 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)
    2.2 Hat函數(shù)的定義與相關(guān)性質(zhì)
        2.2.1 廣義Hat函數(shù)的定義與性質(zhì)
        2.2.2 廣義Hat函數(shù)的整數(shù)階積分算子矩陣
        2.2.3 改進(jìn)Hat函數(shù)的定義與性質(zhì)及推廣
        2.2.4 多維改進(jìn)Hat函數(shù)的定義與性質(zhì)
        2.2.5 改進(jìn)Hat函數(shù)的整數(shù)階積分算子矩陣
    2.3 本章小結(jié)
第三章 廣義Hat函數(shù)求解分?jǐn)?shù)階積分微分方程
    3.1 廣義Hat函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣
    3.2 函數(shù)逼近
    3.3 數(shù)值方法
    3.4 誤差分析
    3.5 數(shù)值算例
    3.6 本章小結(jié)
第四章 改進(jìn)Hat函數(shù)求解多維分?jǐn)?shù)階積分方程
    4.1 解的存在性和唯一性
    4.2 配置法的基本理論
    4.3 解多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程的數(shù)值方法
        4.3.1 多維分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程
        4.3.2 數(shù)值算法
    4.4 收斂性分析
    4.5 誤差分析
    4.6 數(shù)值算例
    4.7 本章小結(jié)
第五章 總結(jié)與展望
    5.1 工作總結(jié)
    5.2 研究展望
致謝
參考文獻(xiàn)
攻讀碩士期間取得的研究成果

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號：2878319