作為一種重要的數(shù)學(xué)模型,隨機微分方程(SDE)已被廣泛應(yīng)用于金融學(xué)、控制論、生態(tài)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)路等具有不穩(wěn)定性的確定性微分系統(tǒng)中,但隨機微分方程的解析解不像一般的常微分方程那樣容易求得,大多都是用數(shù)值解來逼近。因而數(shù)值方法的有效性就是解決問題的關(guān)鍵,而有效性一般通過數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性來衡量。本文主要研究了求解兩類隨機微分方程數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性。1、對于It(?)型隨機微分方程,主要研究了求解它的數(shù)值方法及方法的穩(wěn)定性。首先通過對求解It(?)型隨機微分方程的Heun方法進行改進得到θ-Heun方法。然后根據(jù)數(shù)值方法均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的定義,證明了θ-Heun數(shù)值方法均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的充要條件,以及均方穩(wěn)定區(qū)域。接著給出了使θ-Heun數(shù)值方法均方穩(wěn)定的θ的取值范圍,并進行了數(shù)值驗證。最后用數(shù)值實驗對這兩種數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性和漸進穩(wěn)定性進行了對比。2、研究了求解It(?)型隨機微分方程θ-Heun方法的收斂性。根據(jù)數(shù)值方法收斂性的定義,證明了求解標量自治隨機微分方程的θ-Heun方法的幾種收斂階,并用數(shù)值例子進行了驗證。3、推導(dǎo)出幾種求解Stratonovich型隨機微分方程的數(shù)值方法。運用It(?)型隨機微分方程與Stratonovich型隨機微分方程之間的轉(zhuǎn)換法則,把Stratonovich型隨機微分方程轉(zhuǎn)換成相對應(yīng)的It(?)型隨機微分方程,從而推導(dǎo)出求解Stratonovich型隨機微分方程的Heun方法和θ-Heun方法,并利用分步技巧獲得了這兩種方法的漂移分步法和擴散分步法。從而獲得了六種求解Stratonovich型隨機微分方程的數(shù)值方法。4、對于Stratonovich型隨機微分方程,討論了上述所得六種數(shù)值方法的穩(wěn)定性。首先根據(jù)均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的定義證明了這六種數(shù)值方法穩(wěn)定的充要條件,然后給出了使得Stratonovich型隨機微分方程的θ-Heun方法均方穩(wěn)定的θ的取值范圍,并進行了數(shù)值驗證。最后用數(shù)值例子分別對這六種數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性和漸進穩(wěn)定性進行了對比。
【學(xué)位單位】：長安大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O211.63;O241.8
【部分圖文】：

圖 2.1 Brown 運動的典型軌道噪聲據(jù)性質(zhì) 2.4 的（3）可知 Brown 運動不可微，但依然可以討論它的形式導(dǎo)證明 W t 是一個服從均值為零的正態(tài)過程。義 2.5 我們把W t 的形式導(dǎo)數(shù)稱為白噪聲[43]，即：W t dW t / dt t 0 機積分to 積分與 Stratonovich 積分機積分有很多種定義，但只有 積分和 Stratonovich 積分在理論和實踐中

5。用 θ-Heun 方法對解析解進行模擬，繪出圖 3.1 和 3.2：圖3.1 θ-Heun方法的MS穩(wěn)定性（1=10 ） 圖3.2 θ-Heun 方法的 MS 穩(wěn)定性（1=5 ）通過對比上面這兩幅圖發(fā)現(xiàn)：對于隨機微分方程（3.12），當(dāng) 時，用 θ-Heun方法求解得到的數(shù)值解是不穩(wěn)定的，如圖 3.1；而當(dāng) 時，用 θ-Heun 方法求解得到的數(shù)值解是穩(wěn)定的，如圖 3.2。下面給出理論說明。根據(jù)定理 3.9，當(dāng) 4，12

圖 3.3 Heun 方法的 MS 穩(wěn)定性 圖 3.4 θ-Heun 方法的 MS 穩(wěn)定性從圖 3.3 中觀察到：僅當(dāng)14h 時，才有2lim ( ( ) ) 0tE X t ，通過定義 3.3 可知此時Heun 方法是均方穩(wěn)定的。但當(dāng) h 1和12h 時，2lim ( ( ) ) 0tE X t ，即 Heun 方法不是均方穩(wěn)定的。這是由于對于隨機微分方程（3.13），用 Heun 方法來求解時，均方穩(wěn)定的條件是22 221 12hh h ，這三個步長中只有當(dāng) 時此條件成立。從圖 3.4 中觀察到：不管 h 1， 還是 ,都有 ，通過定義3.3 可知 θ-Heun 方法是均方穩(wěn)定的。這是由于用 Heun 方法來求解方程（3.13）時，均方穩(wěn)定的條件是 22 2 21 h h h 1，當(dāng)1 11, ,2 4h 時此條件都成立。通過這兩幅圖的對比，可知用 θ-Heun 方法來求解方程（3.13）時，解的均方穩(wěn)定性比 Heun 方法的穩(wěn)定性好。
【參考文獻】

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本文編號：2876561