隨著對(duì)剛性常微分方程初值問(wèn)題的不斷深入研究,國(guó)內(nèi)外學(xué)者給出了許多較為有效的特殊Runge-Kutta方法,主要包括對(duì)角隱式Runge-Kutta方法和Rosenbrock方法。函數(shù)擬合方法是一類(lèi)在局部區(qū)間上用一個(gè)有理函數(shù)來(lái)近似地表示剛性常微分方程的解的方法,考慮在其解區(qū)間上構(gòu)造指數(shù)擬合的函數(shù),來(lái)使得其近似逼近原方程的解曲線,其中比較有效和精確的算法是將Runge-Kutta方法與指數(shù)擬合相結(jié)合來(lái)處理剛性問(wèn)題。同時(shí),對(duì)于一類(lèi)解可由集合{eiωx,e-iωx}或由集合{cos(ωx),sin(ωx)}(ω0)線性組合的一階常微分方程初值問(wèn)題,可將三角擬合思想應(yīng)用于Runge-Kutta方法上,來(lái)得到一類(lèi)相比傳統(tǒng)方法來(lái)說(shuō)更具優(yōu)勢(shì)的新方法。學(xué)者們將對(duì)角隱式Runge-Kutta方法結(jié)合指數(shù)擬合和三角擬合的研究已經(jīng)做了較多的工作,而未見(jiàn)采用指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法,且Rosenbrock方法相對(duì)于對(duì)角隱式Runge-Kutta方法來(lái)說(shuō),具有更小的計(jì)算量,故本文將針對(duì)常微分方程初值問(wèn)題這一模型,利用Rosenbrock方法結(jié)合指數(shù)擬合和三角擬合思想來(lái)得到一類(lèi)在誤差和精度上具有更好的表現(xiàn)的方法。在第一章,介紹了關(guān)于剛性常微分方程初值問(wèn)題的研究背景和國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀,且給出了早期學(xué)者們對(duì)Rosenbrock方法的發(fā)展與改進(jìn)。在第二章和第三章,構(gòu)造了一類(lèi)二級(jí)2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法,得到了定系數(shù)的二級(jí)2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法的具體格式,并證明了不存在此類(lèi)三級(jí)3階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法。最后驗(yàn)證了定系數(shù)的二級(jí)2階指數(shù)擬合和三角擬合Rosenbrock方法是A-穩(wěn)定的。在第四章,利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了指數(shù)擬合Rosenbrock方法的有效性,主要應(yīng)用了幾組不同的數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)比較方法的收斂性和計(jì)算時(shí)間,通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到與理論基本一致的結(jié)論。在最后一章,主要是對(duì)本文做一個(gè)總結(jié),并針對(duì)本文未涉及到的其它模型和方法給出了筆者后期的一些想法與計(jì)劃。
【學(xué)位單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類(lèi)】：O241.81
【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 剛性問(wèn)題的研究背景
    1.2 指數(shù)擬合方法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀
    1.3 Rosenbrock方法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀
    1.4 本文研究?jī)?nèi)容
2 指數(shù)擬合Rosenbrock方法
    2.1 指數(shù)擬合Rosenbrock方法的構(gòu)造
    2.2 指數(shù)擬合Rosenbrock方法
    2.3 穩(wěn)定性分析
3 三角擬合Rosenbrock方法
    3.1 三角擬合Rosenbrock方法的構(gòu)造
    3.2 三角擬合Rosenbrock方法及其穩(wěn)定性
4 數(shù)值算例
5 總結(jié)與展望
致謝
參考文獻(xiàn)

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2872072