粒子方法在過去幾十年間得到了巨大的發(fā)展,被用來研究偏微分方程的解。粒子方法最“自然”的應(yīng)用是在線性傳輸方程上,然而近年來這類方法也被用來處理對流擴(kuò)散方程以及一些其它非線性方程。本文主要介紹一些粒子方法來處理兩類偏微分方程,一類是非線性色散方程,一類是Vlasov型方程。本文首先研究一維空間上帶有三階非線性項(xiàng)的修正Camassa-Holm方程(m CH)解的適定性。與著名的Kd V方程類似,m CH方程是用來描述淺水波運(yùn)動的方程。該方程是一個非線性色散方程,而且它是一個完全可積系統(tǒng),具有雙Hamiltonian結(jié)構(gòu)以及Lax對。由現(xiàn)有文獻(xiàn)可知,m CH方程的強(qiáng)解局部存在且唯一。對于許多光滑初值,此方程的強(qiáng)解在有限時間內(nèi)會有爆破行為。本文的主要目標(biāo)之一是研究如何去全局延拓爆破后的解,即m CH方程弱解的全局存在性。首先從m CH方程的一類特殊弱解——N-peakon解入手。peakon解軌道所滿足特征方程的向量場具有非Lipschitz性,這是由peakon之間有限時間內(nèi)碰撞所產(chǎn)生的。因此如何去全局延拓peakon解軌道是一個很自然的問題。受天體物理中粘性粒子模型的啟發(fā),本文針對m CH方程的弱解提出了一個粘性粒子模型,給出一個粘性粒子方法及其收斂性的證明。此粘性粒子方法可以給出全局粘性N-peakon解;對于一般的Radon測度初值,利用粘性粒子模型的平均場極限得到了m CH方程的一般全局弱解;證明了弱解在一類空間中的穩(wěn)定性,且提供了一些peakon弱解不唯一的例子。接下來針對m CH方程弱解的唯一性,本文給出了一種色散正則化方法。此方法與處理不可壓縮Euler方程的“渦旋泡”方法(Vortex blob method)類似。如上所述,m CH方程的peakon解軌道會在有限時間內(nèi)碰撞,并造成其特征方程向量場的非Lipschitz性。為了得到唯一的全局N-peakon解,本文通過兩次磨光peakon軌道特征方程來給出m CH方程的一個色散正則化的系統(tǒng)。經(jīng)過磨光的特征方程是全局Lipschitz的,因此可以得到全局近似peakon軌道,且這些軌道相互之間不碰撞。利用這些近似軌道的極限,可以得到全局的peakon軌道,這些軌道全局Lipschitz且不會互相穿過。利用這些軌道可以構(gòu)造m CH方程的N-peakon解,然后可以通過一個平均場極限過程得到Radon測度初值時弱解的全局存在性。最后本文利用粒子方法研究了Rd空間上一類Vlasov型方程的弱測度值解。此Vlasov型方程帶有局部對齊力,是描述N個粒子的自組織行為模型——MotschTadmor(MT)模型的動力學(xué)方程,即粒子個數(shù)無窮多時描述粒子密度函數(shù)的偏微分方程。MT模型為此Vlasov型方程提供了一個自然的粒子方法,不同于以上兩種粒子方法,該粒子的運(yùn)動所滿足的常微分系統(tǒng)是二階的。對于N個粒子的系統(tǒng),本文研究了一個加權(quán)的MT模型和一個帶有“尾巴”項(xiàng)的模型的無條件成群行為。當(dāng)N趨于無窮大時,本文得到了MT模型的動力學(xué)方程的測度值解的全局存在性和穩(wěn)定性,并且證明了測度值解收斂到成群狀態(tài)。
【學(xué)位單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175.2
【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第1章 緒論
    1.1 課題背景及研究現(xiàn)狀
        1.1.1 非線性色散可積系統(tǒng)
        1.1.2 一類自組織成群模型
    1.2 本文主要工作及其結(jié)構(gòu)
第2章 用于修正Camassa-Holm方程的粘性粒子方法的全局收斂性
    2.1 引言
    2.2 粘性N-peakon解
    2.3 一個粘性粒子方法及收斂定理
        2.3.1 時空BV估計(jì)
        2.3.2 全局弱解和收斂定理
        2.3.3 解m(·,t)全變差的穩(wěn)定性
    2.4 弱解的唯一性及不唯一性
        2.4.1 解空間W2,1(R)中的穩(wěn)定性和唯一性
        2.4.2 peakon解不唯一的例子
    2.5 本章小結(jié)
第3章 關(guān)于修正Camassa-Holm方程的色散正則化
    3.1 引言
    3.2 色散正則化和N-peakon解
        3.2.1 色散正則化及弱一致性
        3.2.2 收斂定理
        3.2.3 極限常微分系統(tǒng)
    3.3 極限peakon解
        3.3.1 正則系統(tǒng)解的不碰撞
        3.3.2 2-peakon解
        3.3.3 有關(guān)三個peakon系統(tǒng)的討論
    3.4 本章小結(jié)
第4章 帶有局部對齊力的Vlasov型方程弱測度值解的全局存在唯一性
    4.1 引言
    4.2 帶有權(quán)重的MT模型
    4.3 一個粒子方法
        4.3.1 準(zhǔn)備工作
        4.3.2 弱測度值解的存在性和穩(wěn)定性
    4.4 測度值解的漸近行為
    4.5 本章小結(jié)
結(jié)論
參考文獻(xiàn)
攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的論文及其他成果
致謝
個人簡歷

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 關(guān)春霞;馮兆永;;弱耗散的Degasperis-Procesi方程弱解的存在性[J];中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2014年02期

2 鄧未冰;卞慧;;一類擬線性橢圓型方程的很弱解的正則性[J];河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2014年04期

3 夏子倫;曹文慧;楊文斌;;一類非線性雙曲型方程的弱解[J];云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2013年01期

4 謝素英;田歡;;一類二階擬線性橢圓型方程障礙問題的很弱解[J];應(yīng)用數(shù)學(xué);2010年04期

5 佟玉霞;金殿川;谷建濤;;關(guān)于障礙問題很弱解的注記[J];寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2009年03期

6 陳慧玉,冉啟康;擬線性橢圓型方程弱解的拼集問題[J];華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2004年04期

7 楊萬利;;發(fā)展型壩問題弱解的一些性質(zhì)[J];河北師范大學(xué)學(xué)報(bào);1991年03期

8 李文林;;BANACH空間微分方程一個弱解存在定理[J];河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1987年04期

9 王玉川;擬線性橢圓型方程組的弱解在邊界附近的估計(jì)[J];山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1988年01期

10 陸君安;彈性和彈塑性扭轉(zhuǎn)問題弱解的某些極限性態(tài)[J];武漢水利電力學(xué)院學(xué)報(bào);1988年01期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前10條

1 高瑜;基于粒子方法的兩類偏微分方程的適定性研究[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2018年

2 曾明;某些鐵磁鏈方程的解的存在性[D];中國工程物理研究院;2006年

3 何成軍;R～N上一類擬線性橢圓型方程的研究[D];中國科學(xué)院研究生院（武漢物理與數(shù)學(xué)研究所）;2007年

4 馬文雅;可壓液晶方程組弱解的存在性及其性質(zhì)[D];復(fù)旦大學(xué);2010年

5 李仲慶;具變指數(shù)的非線性拋物和橢圓方程弱解、重整化解和熵解的存在性[D];吉林大學(xué);2015年

6 史明宇;擬正則映射與A調(diào)和方程很弱解的若干性質(zhì)[D];湖南大學(xué);2010年

7 章志飛;發(fā)展型方程中若干問題的研究[D];浙江大學(xué);2003年

8 李自來;關(guān)于可壓流體力學(xué)中一些數(shù)學(xué)問題的研究[D];西北大學(xué);2014年

9 叢文婷;幾類退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性[D];吉林大學(xué);2017年

10 馬琦;一類具退化性非線性拋物方程組的定性研究[D];吉林大學(xué);2009年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 王修慶;二維液晶流方程的消失極限問題[D];云南民族大學(xué);2017年

2 王樂樂;雙曲守恒律方程的弱解研究[D];合肥工業(yè)大學(xué);2007年

3 張娜娜;Degasperis-Procesi方程整體弱解的大時間性態(tài)[D];湘潭大學(xué);2010年

4 陳學(xué)長;關(guān)于一個具奇異測度系數(shù)拋物型方程徑向弱解的存在和唯一性[D];吉林大學(xué);2004年

5 易啟志;帶Hardy-sobolev-Maz'ya項(xiàng)的奇異橢圓型偏微分方程弱解的正則性[D];華中師范大學(xué);2012年

6 林琳;二維可壓縮液晶流弱解的存在性[D];復(fù)旦大學(xué);2011年

7 凌征球;一類雙重退化拋物型方程弱解的存在惟一性[D];吉林大學(xué);2006年

8 張永強(qiáng);不可壓液晶方程的有界古代弱解[D];復(fù)旦大學(xué);2014年

9 王占;退化橢圓方程很弱解的正則性及唯一性問題[D];北京交通大學(xué);2007年

10 楊盼;多尺度趨化偏微分方程的整體弱解[D];東南大學(xué);2016年

本文編號：2845912