黎曼子流形幾何的一個較為重要的問題就是等距嵌入問題。隨著研究對象的不斷深入,Riemann在1868年的就職演講中提出了Riemannian流形的概念,即帶正定度量結(jié)構(gòu)的抽象流形。由此,自然產(chǎn)生的一個問題就是:Riemannian流形是否就是某個歐氏空間具有誘導度量的子流形,也就是等距嵌入的存在性問題。此外,等距嵌入中還有很多其他的性質(zhì),比如開性。這些都對等距嵌入的求解過程起到關鍵的作用。本文,主要研究了 S2在R4中的等距嵌入問題。首先,將四維歐式空間的問題轉(zhuǎn)化到三維的warped內(nèi)積空間上,證明其開性。在Li-Wang[1]證明的基礎上,加上星形條件,給出開性定理的另一種證明方法。這里關鍵是找出了所需的線性化方程。在求解的過程中可以發(fā)現(xiàn),線性化方程為橢圓方程,因此,運用最大值原理可以得到最終結(jié)果。其次,在回顧了經(jīng)典微分曲面理論的基礎上,討論標準的平坦環(huán)面和平坦的Klein瓶到R4上的等距嵌入,并給出證明。這些為討論標準球面在R4的等距嵌入做了準備工作。同時,對結(jié)構(gòu)方程、高斯-科達奇方程和達布方程道三者之間的等價性給出了證明。最后,解決了標準球面在R4中的相關問題。一方面,主要通過構(gòu)造一個新的度量,并求出其高斯曲率。利用其高斯曲率公式的線性化方程,解決了R4中的等距嵌入的存在性問題。另一方面是給出了 R4中相關問題的后續(xù)研究。對于距離函數(shù)r=(?),其中,t＝t(r)發(fā)現(xiàn)只要能求出t(r),就解決了在R4中的等距嵌入問題,具體可以參見Guan-Lu[2]中的思路。
【學位單位】：電子科技大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O186.12
【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第一章 緒論
    1.1 研究工作的背景與意義
    1.2 等距嵌入問題的研究發(fā)展
    1.3 本文的章節(jié)安排
第二章 三維warped內(nèi)積空間的開性定理
    2.1 預備知識
    2.2 定理的證明
    2.3 本章小結(jié)
第三章 曲面到R~4中的實現(xiàn)
    3.1 基礎知識
    3.2 常曲率曲面到歐氏空間的實現(xiàn)
    3.3 高斯-科達奇方程,結(jié)構(gòu)方程和達布方程
    3.4 本章小結(jié)
第四章 S~2在R~4中的等距嵌入
    4.1 預備知識
    4.2 R~4中相關問題的后續(xù)研究
    4.3 本章小結(jié)
第五章 總結(jié)和展望
    5.1 全文總結(jié)
    5.2 研究展望
致謝
參考文獻
攻碩期間取得的研究成果

【參考文獻】

相關期刊論文 前1條

1 ;Infinitesimal nonrigidity of convex surfaces with planar boundary[J];Science in China,Ser.A;2005年04期

本文編號：2845459