通過對生物數(shù)學(xué)系統(tǒng)的研究可以揭示自然界中復(fù)雜生態(tài)現(xiàn)象發(fā)生的本質(zhì),并以此來指導(dǎo)人類對生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行合理的保護(hù)與開發(fā),因此對生物數(shù)學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)進(jìn)行研究具有很好的現(xiàn)實指導(dǎo)意義。本文主要利用微分方程的定性理論、分岔理論、中心流形定理、譜理論、擾動理論以及規(guī)范型理論,對幾類生物數(shù)學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了比較完整的分析。在第三章中我們討論了一類帶有Michaelis-Menten型被捕食者收割項的Leslie-Gower捕食者與被捕食者系統(tǒng)。在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上我們重點探究了系統(tǒng)在其唯一內(nèi)部平衡點附近的高余維分岔現(xiàn)象。我們發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下系統(tǒng)的唯一內(nèi)部平衡點可以是余維一的鞍-結(jié)點、余維二和余維三的Bogdanov-Takens型尖點,并利用解析的方法證明了系統(tǒng)發(fā)生了余維二和余維三的Bogdanov-Takens分岔。為了探究當(dāng)在同一生物系統(tǒng)中利用相同的收割方式對不同種群進(jìn)行收割時,系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)所發(fā)生的變化,我們接著在第四章中考慮了一類對捕食者進(jìn)行Michaelis-Menten型收割的Leslie-Gower捕食者與被捕食者系統(tǒng)。結(jié)果表明此時系統(tǒng)具有更加豐富的動力學(xué)性態(tài),系統(tǒng)的平衡點可以是拓?fù)浒包c、結(jié)點、焦點或中心、余維一的鞍-結(jié)點、余維二的非雙曲結(jié)點、余維二和余維三的尖點等。系統(tǒng)也發(fā)生了復(fù)雜的分岔現(xiàn)象,如鞍-結(jié)分岔、跨臨界分岔、音叉分岔、Hopf分岔、同宿軌分岔、余維二或余維三的Bogdanov-Takens分岔等。在文章的最后我們均進(jìn)行了適當(dāng)?shù)臄?shù)值模擬,并對這些復(fù)雜的分岔現(xiàn)象給出了合理的生物學(xué)解釋。為了研究帶有耗散項的反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)的時空動力學(xué)性態(tài),在第五章中我們分析了一類具有一般性的Brusselator反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)的余維二Turing-Hopf分岔。我們首先利用拉普拉斯算子的譜理論將偏微分方程轉(zhuǎn)化成了由可數(shù)個對偶微分方程組成的系統(tǒng),通過求解系統(tǒng)在一致穩(wěn)態(tài)解處的線性化矩陣的特征值得到了系統(tǒng)在常數(shù)穩(wěn)態(tài)解附近出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定性和余維二Turing-Hopf分岔的橫截性條件,然后通過中心流形定理分析了其擾動系統(tǒng)在中心流形上的規(guī)范型,證明了系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下將會發(fā)生余維二的Turing-Hopf分岔。最后針對一個具體的例子對伴隨其發(fā)生余維二Turing-Hopf分岔所出現(xiàn)的六種復(fù)雜動力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值模擬以驗證理論結(jié)果的有效性。
【學(xué)位單位】：重慶大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【部分圖文】：

圖 2.1：系統(tǒng)(2.20)的分岔圖表Fig.2.1: Bifurcation diagram of system (2.20)0,01120 b b 時，( 0,0)將會是系統(tǒng)(2.17)的一個余維結(jié)論。系統(tǒng)(2.17)滿足 20,0201120a b b ，則系統(tǒng)(2.17)等 ,,23yxxyxy 下的普適開折 .,23123yyxyxxyxy (,,,,,)(,,,,,)123123x yt x y t 可以將系統(tǒng)(2，我們只需要研究如下形式的系統(tǒng) .,23123yyxyxxyxy 時，系統(tǒng)(2.23)沒有平衡點，而在 (,,)(0,

小鄰域內(nèi)且在曲線 和 之間時，系曲線 上且不與點2h 重合時，系統(tǒng)會出參數(shù)在曲線 上從右到左穿過弧 1 2b h 時在曲線 上從左到右穿過弧 2 2h b 時，系，系統(tǒng)發(fā)生階數(shù)為二的 Hopf 分岔。當(dāng)參會出現(xiàn)階數(shù)為一的同宿軌分岔，具體來說 1 2 hl 時，鞍點的兩條分界線交換它們的位當(dāng)參數(shù)在曲線 上從右到左穿過弧 2 hl 且系統(tǒng)中出現(xiàn)一個穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)參數(shù)分岔。當(dāng)參數(shù)在曲線 和 的橫截交點pf 分岔和階數(shù)為一的同宿軌分岔。當(dāng)參數(shù)在里面的一個是穩(wěn)定的外面的一個則是不，兩個極限環(huán)合并成一個極限環(huán)，且當(dāng)極限環(huán)。

圖 3.1：系統(tǒng)(3.23)的分岔圖表 圖 3.2：余維二的尖點Fig.3.1:Bifurcation diagram of system (3.23) Fig.3.2: A cusp of codimension 2圖 3.3：無內(nèi)部平衡點 圖 3.4：一個鞍點和一個不穩(wěn)定的焦點Fig.3.3: No interior equilibria Fig.3.4: A saddle and an unstable focus
【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 汪維剛;史娟榮;莫嘉琪;;捕食-被捕食微分方程種群模型的研究綜述[J];武漢大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版);2015年04期

2 ;Analyses of Bifurcations and Stability in a Predator-prey System with Holling Type-Ⅳ Functional Response[J];Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series);2004年01期

本文編號：2841827