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高初始能量下幾類發(fā)展方程解的有限時(shí)間爆破

發(fā)布時(shí)間:2020-10-02 09:36
   對(duì)于發(fā)展方程,一旦建立了解的局部存在性結(jié)果,一個(gè)自然的問題隨之而來:解是否整體存在?如果解的最大存在時(shí)間(記為T~*)有限,通常情況下這個(gè)解的某種范數(shù)在生命跨度[0,T~*)內(nèi)無界,也就是說,這個(gè)解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.本文利用勢(shì)阱方法、Levine的凹性方法、微分不等式技巧和臨界點(diǎn)理論等給出在高初始能量假設(shè)下幾類發(fā)展方程解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的充分條件、生命跨度的估計(jì)以及其它相關(guān)結(jié)論.在第1章,我們介紹了發(fā)展方程解的整體存在性和有限時(shí)間爆破的研究的歷史與現(xiàn)狀,回顧了一些常用的研究方法——特別是勢(shì)阱方法和Levine的凹性方法——的歷史與發(fā)展,最后給出了全文的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介和一些約定、符號(hào).在第2章,我們研究了一類帶有可變系數(shù)的擬拋物(或拋物)方程的初邊值問題.利用勢(shì)阱方法、Levine的凹性方法以及微分不等式技巧等工具,在初始能量和初始數(shù)據(jù)的相關(guān)假設(shè)下,我們給出了解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的結(jié)果以及爆破時(shí)間的上下界估計(jì).特別地,我們還證明,在初始Nehari流形上或任意初始能量高度上,總存在能使解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的初值.在第3章,我們研究了在記憶項(xiàng)和非線性源項(xiàng)相互影響下的一類擬拋物方程的初邊值問題.利用凹性方法,改進(jìn)的與時(shí)間相關(guān)的勢(shì)阱族方法和一些微分不等式技巧,在初始能量、初始數(shù)據(jù)、源項(xiàng)指數(shù)p和弛豫函數(shù)g的相關(guān)假設(shè)下,我們給出了解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的結(jié)果以及爆破時(shí)間的上界估計(jì).最后我們證明,在任意初始能量高度上,總存在能使解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的初值.在第4章,我們考察了一類帶有p-Laplace項(xiàng)和非局部源項(xiàng)的薄膜方程的初邊值問題.利用噴泉定理、凹性方法和微分不等式技巧,我們證明在任意初始能量高度上,總存在能使解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的初值.另外,我們還給出了爆破時(shí)間的上界估計(jì).在第5章,我們研究了三維空間中一類帶有非線性弱耗散項(xiàng)、超臨界源項(xiàng)和指定長(zhǎng)時(shí)間過去歷史的粘彈性波動(dòng)方程.通過構(gòu)造特殊的輔助函數(shù)以及利用凹性方法,我們得到了高初始能量時(shí)解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的若干結(jié)果.特別地,對(duì)于線性弱耗散的情形,我們還給出了爆破時(shí)間的上界估計(jì).最后我們證明,在任意初始能量高度上,總存在能使解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的初值.在第6章,我們研究了一類帶有記憶項(xiàng)、非線性弱耗散項(xiàng)和超線性源項(xiàng)的Petrovsky方程的初邊值問題.通過構(gòu)造特殊的輔助函數(shù),我們證明,在任意初始能量高度上,總存在能使解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的初值.對(duì)于線性弱耗散的情形,在相對(duì)較強(qiáng)的假設(shè)條件下我們還給出了另外一個(gè)有限時(shí)間爆破結(jié)果,并且給出了爆破時(shí)間的上界估計(jì).
【學(xué)位單位】:曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】:博士
【學(xué)位年份】:2018
【中圖分類】:O175
【文章目錄】:
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 研究背景
    1.2 論文結(jié)構(gòu)
    1.3 約定和符號(hào)
2 可變系數(shù)的擬拋物方程
    2.1 引言
    2.2 預(yù)備知識(shí)
    2.3 解的有限時(shí)間爆破
    2.4 主要結(jié)果的證明
        2.4.1 凹性方法
        2.4.2 定理2.3.1的證明
        2.4.3 定理2.3.3的證明
        2.4.4 定理2.3.6的證明
        2.4.5 推論2.3.8的證明
    2.5 有待解決的問題
3 帶有記憶項(xiàng)的擬拋物方程
    3.1 引言
    3.2 預(yù)備知識(shí)
    3.3 勢(shì)阱族、不變集與真空隔離
    3.4 解的有限時(shí)間爆破
0)        3.4.1 (?)(u0
        3.4.2 高初始能量時(shí)解的有限時(shí)間爆破
4 薄膜方程
    4.1 引言
    4.2 預(yù)備知識(shí)
    4.3 有限時(shí)間爆破
5 具有長(zhǎng)時(shí)記憶的粘彈性波動(dòng)方程
    5.1 引言
    5.2 預(yù)備知識(shí)
    5.3 高初始能量下的有限時(shí)間爆破結(jié)果
    5.4 主要結(jié)果的證明
6 Petrovsky方程
    6.1 引言
    6.2 預(yù)備知識(shí)
    6.3 高初始能量假設(shè)下的有限時(shí)間爆破
    6.4 有待解決的問題
參考文獻(xiàn)
博士期間完成的論文
致謝

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本文編號(hào):2832237

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