本文研究空間Rd(d≥2)中具有牛頓和庫倫相互作用的布朗粒子系統(tǒng)的混沌傳播間題,主要內(nèi)容由三部分組成。第一部分考慮具有牛頓相互吸引作用的隨機N-粒子系統(tǒng)。假設N個粒子的初始狀態(tài)獨立同分布,其共同的分布密度函數(shù)為po∈L∞(Rd)∩L1(Rd,(1+│x│)dx)。在截斷系數(shù)為s～(lnN)-1/d的條件下,本文嚴格證明了：(a)光滑化粒子系統(tǒng)的混沌傳播且相應的平均場極限方程為Keller-Segel方程。(b)Keller-Segel方程弱解的Yudovich型唯一性和Wasserstein距離下的穩(wěn)定性。(c)當空間維數(shù)d=2時,如果8πv1,則混沌傳播是全局的；而若8πv1,則粒子之間的碰撞時間的期望值不大于2πVar{X01}/1-8πv。當d≥3時,如果ρ0(x)的Ld/2模小于給定的常數(shù),則混沌傳播是全局的。第二部分提出了Keller-Segel方程的數(shù)值算法。首先引入隨機粒子blob方法。然后利用第一部分Keller-Segel方程弱解在Wasserstein距離下的穩(wěn)定性結(jié)論,嚴格地證明了這一算法的收斂性。第三部分考慮具有庫倫相互排斥作用的隨機N-粒子系統(tǒng)。假設初始粒子幾乎處處不碰撞,本文證明了在其后的任意時刻,粒子也幾乎處處不碰撞(這是由于庫倫位勢的正性,因此無需光滑截斷粒子系統(tǒng)),從而得到上述粒子系統(tǒng)的適定性。進一步,對d=2的情形,假設初值獨立同分布,其共同的分布密度函數(shù)為po∈L∞(Rd)∩L1(Rd,(1+│x│2)dx),本文嚴格證明了此粒子系統(tǒng)的混沌傳播且相應的平均場極限方程是Poisson-Nernst-Planck(PNP)方程。
【學位單位】：清華大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2015
【中圖分類】：O211.6
【文章目錄】：
摘要
Abstract
主要符號對照表
第1章 引言
    1.1 選題背景及意義
    1.2 研究現(xiàn)狀
        1.2.1 混沌傳播
        1.2.2 Keller-Segel方程
        1.2.3 Poisson-Nernst-Planck方程
    1.3 研究內(nèi)容及方案
        1.3.1 Keller-Segel方程的混沌傳播
        1.3.2 Keller-Segel方程的隨機blob方法
        1.3.3 Poisson-Nernst-Planck方程的混沌傳播
    1.4 論文結(jié)構(gòu)安排
第2章 基本知識
    2.1 混沌傳播的定義
    2.2 Wasserstein空間和Kantorovich-Rubinstein距離
    2.3 光滑算子和Osgood引理
    2.4 關(guān)于鞅及其基本不等式
第3章 Keller-Segel方程的混沌傳播
    3.1 引言及主要結(jié)果
    3.2 預備知識及主要引理
    3.3 非線性隨機微分方程和Keller-Segel方程的適定性理論
        3.3.1 光滑化的非線性隨機微分方程和光滑化的Keller-Segel方程解的存在唯一性
        3.3.2 光滑化隨機微分方程解的L∞(Rd)模的一致估計
        3.3.3 非線性隨機微分方程和Keller-Segel方程解的存在唯一性
    3.4 Keller-Segel方程的穩(wěn)定性
    3.5 平均場極限和混沌傳播
        3.5.1 粒子之間的碰撞
        3.5.2 定理3.1.3的證明
        3.5.3 平均場極限和混沌傳播
第4章 Keller-Segel方程的隨機blob方法
    4.1 引言及主要結(jié)果
    4.2 預備知識及主要引理
    4.3 收斂性分析
        4.3.1 軌跡收斂
        4.3.2 隨機blob方法的收斂性
    4.4 實用算法和收斂性分析
第5章 Poisson-Nernst-Planck方程的混沌傳播
    5.1 引言及主要結(jié)果
    5.2 預備知識及主要引理
    5.3 維數(shù)d ≥ 2的N-粒子系統(tǒng)的適定性
    5.4 胎緊和相容性
    5.5 混沌傳播
第6章 結(jié)論
    6.1 論文主要工作總結(jié)
    6.2 研究發(fā)展趨勢
        6.2.1 Keller-Segel方程的隨機粒子系統(tǒng)
        6.2.2 維數(shù)d ≥ 3的Poisson-Nernst-Planck方程的混沌傳播
        6.2.3 具有奇異勢的粒子系統(tǒng)的平均場極限
參考文獻
致謝
個人簡歷、在學期間發(fā)表的學術(shù)論文與研究成果

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本文編號：2830825