本文研究了半正定(分塊)矩陣、壓縮矩陣、扇形矩陣,獲得了一些酉不變范數(shù)不等式、矩陣均值不等式以及行列式不等式.最后研究了矩陣不等式在量子信息理論中的應(yīng)用-量子不確定性關(guān)系.本文的主要工作如下:1.利用舒爾補(bǔ)(Schur Complement),正偏轉(zhuǎn)置(PPT)以及優(yōu)超(Majorization)不等式證明了 Haya.jneh和Kittaneh[47]提出的一個(gè)猜想,間接地解決了 Bourin[8]提出的問(wèn)題.2.Lin和Zhou在文獻(xiàn)[72]中研究了增生-耗散矩陣的Hilbert-Schmidt范數(shù)以及酉不變范數(shù)不等式,他們的其中一個(gè)結(jié)果是比較增生-耗散矩陣與它的對(duì)角塊的和的酉不變范數(shù)的大小,利用優(yōu)超(Majorization)理論把上述結(jié)果推廣到扇形矩陣,得到一些酉不變范數(shù)不等式.3.Choi[25]證明了關(guān)于正定矩陣的反向Fischer型行列式不等式,利用舒爾補(bǔ)理論首先對(duì)Choi的反向Fischer型行列式不等式給出一個(gè)不同的證明,接著給出該不等式的一個(gè)模擬,即涉及到Hadamard積的反向Fischer型行列式不等式.4.推廣華行列式不等式[64],得到一個(gè)廣義的Holder類(lèi)型的特征值不等式,該不等式也是Marcus[94]結(jié)果的推廣.5.Brunn-Minkowski不等式是最重要的幾何不等式之一,它有很多的推廣和應(yīng)用,Ky Fan[34]對(duì)該不等式給出一種推廣,Yuan和Leng[77]進(jìn)一步推廣了此不等式.Yuan和Leng的原始證明看起來(lái)非常冗長(zhǎng).首先應(yīng)用Bellman不等式對(duì)Yuan和Leng的主要結(jié)果給出一個(gè)簡(jiǎn)單證明.接下來(lái),把Brunn-Minkowski不等式推廣到一類(lèi)矩陣情形,這類(lèi)矩陣的數(shù)值域包含在一個(gè)給定的扇形區(qū)域內(nèi),有時(shí)也稱(chēng)這類(lèi)矩陣為扇形矩陣.6.證明了扇形矩陣的算子幾何-調(diào)和均值不等式,應(yīng)用此均值不等式,得到一些關(guān)于扇形矩陣的奇異值不等式和酉不變范數(shù)不等式.7.把Mond和Pecaric[92]的關(guān)于混合的算術(shù)均值-幾何均值(AM-GM)以及幾何均值-調(diào)和均值(GM-HM)不等式推廣到扇形矩陣.8.量子不確定性原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本原理,該原理描述了任何觀測(cè)值不能同時(shí)觀察兩個(gè)非對(duì)易的可觀測(cè)量.把Ko和Yoo[60]所獲得的一個(gè)不確定性關(guān)系推廣到非厄米特性(Non-Hermitian)情形,所得結(jié)果包含許多已有結(jié)果.
【學(xué)位單位】：上海大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類(lèi)】：O151.21

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2826314