平均曲率流是一類將子流形沿其平均曲率向量形變的幾何熱流.它在第一類奇點處的爆破極限為滿足方程H-X,N/2-= 0的歐氏空間中的超曲面,我們稱之為self-shrinker.Self-shrinker在研究平均曲率流方面起著重要作用,因為它們不僅描述了平均曲率流在給定奇點處的所有可能爆破模型,而且它們還對應(yīng)于平均曲率流的自收縮解.眾所周知,(?)-算子在self-shrinker的研究中起著極其重要的作用.本文,我們首先研究了 self-shrinker上三個重要的偏微分方程(?)u=-0,(?),以及(?)u= Au.討論了它們各自正解的整體梯度估計和局部梯度估計,并給出這些估計的很多應(yīng)用,獲得一些Hamack不等式,獲得(?)一算子第一特征值的下界估計等.然后我們研究了 self-shrinker上有關(guān)(?)-算子的Reilly不等式,利用此Reilly不等式,我們獲得self-shrinker上一些新的Poincare不等式,同樣的,我們也獲得self-shrinker邊界上的一些Poincare不等式以及特征值的估計,建立了邊界上廣義平均曲率Hρ的整體估計.體積保護的平均曲率流作為一般平均曲率流一種推廣,在第一類奇點處的爆破極限滿足方程H-X,N/2= λ我們稱之為λ-超曲面.在本文里,我們主要研究了無多項式體積增長的假設(shè)下的λ-超曲面的分類和剛性.使用關(guān)于(?)-算子的推廣的極大值原理,超曲面第二基本形式的加權(quán)L2-條件,超曲面上Sobolev不等式以及超曲面的ρ-拋物性等,我們將self-shrinkers上的許多結(jié)果推廣到λ-超曲面上來.此外,我們還討論了λ 超曲面上的體積比較定理,并給出了體積比較定理的許多應(yīng)用,證明了 λ-超曲面上的Milnor定理和Hurewicz定理等.最后,我們討論了 λ-超曲面上一些拓撲結(jié)構(gòu).如在對內(nèi)體積增長給予某些限制的條件下,研究了 λ、半徑κ和維數(shù)n的關(guān)系;將著名的Myers定理推廣到完備連通的λ-超曲面上來;獲得oo-Bakry-Emery-Ricci曲率非負的有界λ-超曲面在無窮遠點的拓撲性質(zhì);獲得使λ-超曲面緊致的充分條件等等.
【學(xué)位單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O186.11

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本文編號：2813268