近年來,隨著分數(shù)階微積分在數(shù)學(xué)建模中的大量應(yīng)用,分數(shù)階偏微分方程越來越受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注,并已經(jīng)開始在電磁學(xué)、多孔介質(zhì)力學(xué)、經(jīng)濟金融、環(huán)境科學(xué)、控制理論和高分子材料等諸多科學(xué)領(lǐng)域的研究中扮演重要角色。作為一類新興的數(shù)學(xué)模型,此類方程能夠為帶記憶功能、自相似性質(zhì)和遺傳特征的復(fù)雜動力學(xué)行為提供更為深刻和準(zhǔn)確的物理闡述,故具備傳統(tǒng)偏微分方程不可比擬的優(yōu)越性。由于解析技術(shù)的局限性,開展有關(guān)的數(shù)值方法研究具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。本文研究時間和空間分數(shù)階對流擴散方程的數(shù)值解法,涉及有限差分和配置法、運算矩陣法和微分求積法,主要內(nèi)容包括以下四個部分:首先,討論常系數(shù)時間分數(shù)階擴散方程的一種高精度數(shù)值方法。采用一類高階差分格式離散Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù),在空間上應(yīng)用指數(shù)樣條插值并給予擬一致配點,構(gòu)造一種有限差分-指數(shù)B-樣條配置法。分析一階數(shù)值格式的唯一可解性和無條件穩(wěn)定性,其中,穩(wěn)定性通過分數(shù)階von Neumann分析法證明。數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析結(jié)果。其次,研究變系數(shù)時間分數(shù)階對流擴散方程的運算矩陣法。采用Chebyshev cardinal函數(shù)作為基函數(shù),推導(dǎo)Riemann-Liouville分數(shù)階積分的一個運算矩陣,給出兩種計算矩陣元素的方案,并分析它們的優(yōu)缺點。進一步地,求得一、二階空間導(dǎo)數(shù)的矩陣近似,利用分數(shù)階微積分的性質(zhì)將控制方程轉(zhuǎn)化成含分數(shù)階積分的等價形式,以此提出一種高效Chebyshev cardinal運算矩陣法。數(shù)值結(jié)果及與現(xiàn)有算法的比較表明該方法具備較高的計算精度,并且適用于長時間歷程分數(shù)階問題的數(shù)值模擬。再次,建立一、二維變系數(shù)空間分數(shù)階對流擴散方程的樣條微分求積法。試函數(shù)選為三次B-樣條,介紹Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的微分求積公式,給出確定加權(quán)系數(shù)的方法。同時,為了快速計算分數(shù)階導(dǎo)數(shù)在各個離散節(jié)點上的函數(shù)值,對分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的積分部分應(yīng)用分部積分公式并反復(fù)進行遞歸,推出三次B-樣條的Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的顯式表達式。導(dǎo)出的常微分方程組采用加權(quán)平均差分格式離散。該方法繼承了傳統(tǒng)微分求積法計算量小、精度高和易于編程的特點,在相同的離散參數(shù)和誤差量級下,樣條微分求積法的CPU時耗遠低于有限元法。最后,研究不規(guī)則區(qū)域上帶分數(shù)階方向?qū)?shù)的二維變系數(shù)空間分數(shù)階擴散方程的徑向基微分求積法。對全域離散節(jié)點上的函數(shù)值進行加權(quán)線性組合,引入Caputo分數(shù)階方向?qū)?shù)的微分求積公式。試函數(shù)分別選為Multiquadric、Inverse Multiquadric和Gaussian徑向基函數(shù),給出三種確定加權(quán)系數(shù)的方法。以之為基礎(chǔ),發(fā)展一種適用于任意區(qū)域上的空間分數(shù)階擴散方程的Crank-Nicolson徑向基微分求積法,并給出算法流程。數(shù)值算例包含有矩形、梯形、圓形和L-型區(qū)域問題,數(shù)值結(jié)果說明了方法的靈活性和對不規(guī)則區(qū)域問題的適應(yīng)性。由于對維數(shù)變化不敏感,所提方法可以進一步推廣至三維任意區(qū)域空間分數(shù)階問題,并且不會引起計算量的大幅度增加。
【學(xué)位單位】：西北工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【部分圖文】：

3-1 算例 1 中 α = 0.9, N = 5000和 M = 20時算法在 t = 1時刻的誤差隨張力參數(shù)的表 3-1 算例 1 中 α = 0.9, p = 5.16和 N = 5000時算法在 t = 1時刻的數(shù)值結(jié)果2e (τ , M)Cov. order e ( , M)∞τCov. or0 8.6951e-04 - 1.3969e-03 -0 2.2384e-04 1.9578 3.6042e-04 1.9540 5.7089e-05 1.9712 9.2262e-05 1.9650 1.5162e-05 1.9127 2.4710e-05 1.900 由于0( ) ( )CtD E t = E tα α αα αλ λ λ ，給定2κ =4 /π ，初邊值條件 ( x ) = sin(π x/ 2),1g (t ) = 0,2g (t ) = E ( t)αα,次的右端項，易驗證在區(qū)間 Λ =[0,1]上方程的精確解是u ( x , t ) = E ( t ) sin( x/ 2)ααπ , E ( )α為 Mittag-Leffler 函數(shù)。選擇 α =0.3和張力參數(shù) p = 1.52，表 3-200時樣條配置法在 t = 1時刻時間方向的數(shù)值結(jié)果；表 3-3 則列出了 N =500

不同時刻下p=0.01,N=500*t和M=100時精確解和數(shù)值解的比較

(c) p = 2.53(d) p =3.35圖 3-3 不同的張力參數(shù)下 α = 0.6, N = 2500和 M = 50時空間網(wǎng)格上的絕對誤差分布表 3-5 算例 4 中 α = 0.6和 p = 2.53時兩種算法在 t = 1時刻的絕對誤差比較

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本文編號：2807679