【摘要】：在各類(lèi)工程,金融,數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中,我們經(jīng)常要遇到類(lèi)似下面形式的方程dyt = f(yt)dxt, (0.0.1)其中:x是一個(gè)多維的驅(qū)動(dòng)信號(hào),/是一列驅(qū)動(dòng)的向量場(chǎng)。1如果x∈C1或者x∈C1-var那么這個(gè)方程可以理解為y(t)=f(y(t))x(t)其中C1-var表示連續(xù)的局部有限變差的軌道的集合。在這種情況下,更準(zhǔn)確的說(shuō)原來(lái)的方程應(yīng)該理解為(?)而對(duì)于x(?)C1-var,我們需要將低正則性(例如x∈Cp-var其中p 1)與不連續(xù)性區(qū)分開(kāi)來(lái)。在x∈Cp-var情況下,例如連續(xù)的半鞅(其中p 2),這時(shí)要理解方程(0.0.1),我們經(jīng)常需要考慮的是Ito或者Stratonovich意義下的積分。關(guān)于半鞅驅(qū)動(dòng)的微分方程的研究,可參考例如 Applebaum [2], Jacod-Shiryaev [40],Kurtz-Pardoux-Protter [46],Protter[62]等眾多經(jīng)典的著作。從這個(gè)例子也可以看出,如果驅(qū)動(dòng)的軌道是非�！按植诘摹�(p ≥ 2),那么它所驅(qū)動(dòng)的積分通常是不被該軌道唯一決定的(Ito v.s. Stratonovich)。如果沒(méi)有半鞅的結(jié)構(gòu)(甚至沒(méi)有概率的框架下),例如金融中股票的走勢(shì)圖就是單一的一條“粗糙的”軌道,Lyons在他創(chuàng)造性的文章[53]中建立的rough path理論(本身是確定性的分析)為理解這類(lèi)由“粗糙的”軌道驅(qū)動(dòng)的方程提供了強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)。其中要求x∈Cgp,p ∞,也就是所謂的連續(xù)的幾何p-rough path空間。對(duì)于方程中類(lèi)似于Ito或者Stratonovich這樣的積分不唯一的現(xiàn)象則由rough path結(jié)構(gòu)的高階項(xiàng)所唯一決定了(例如給定半鞅X,對(duì)應(yīng)Ito或者Stratonovich的積分,是由不同的驅(qū)動(dòng)的rough path(X,∫XdX)與(X,∫ XodX)決定的)。其中,概率的信息主要被用于構(gòu)造這種隨機(jī)的rough path (參考 Lyons-Qian[51],Lyons[53],Friz-Victoir[18],Friz-Hairer,[17])。對(duì)于連續(xù)半鞅作為 rough path 的研究,可以參考 Coutin-Lejay [10],Friz-Victoir [20, 18]。在Flint-Hambly-Lyons[15]中,作者考慮了連續(xù)半鞅驅(qū)動(dòng)的方程的逐段線(xiàn)性的Wong-Zakai逼近。在Lyons-Yang [52]中,作者考慮了 Ito SDEs和平均化的Stratonovich解的關(guān)系。另一個(gè)有意思的非概率的問(wèn)題,當(dāng)驅(qū)動(dòng)函數(shù)x帶跳的時(shí)候,例如考慮在有界變差的情況下,取x∈D1≡D∩V1,其中D表示右連左極的軌道全體,(因此dx可以理解為L(zhǎng)ebesgue-Stieltjes測(cè)度),我們可以考慮下面的方程(?)其中方程(0.0.3)表示Lebesgue意義下的積分方程,方程(0.0.5)可以理解為“將跳點(diǎn)處打開(kāi)一個(gè)“小區(qū)間”,然后將左右極限用直線(xiàn)連接起來(lái),從而變?yōu)榻庖粋€(gè)連續(xù)軌道驅(qū)動(dòng)的方程,然后再忽視添加的“小區(qū)間”對(duì)應(yīng)的解的部分”(這也稱(chēng)作“Marcus典則解”)。而這樣做的代價(jià)是改變了原來(lái)的積分或者方程(相當(dāng)于將Ito意義的方程變?yōu)榱?Stratonovich方程),當(dāng)軌道非常粗糙的時(shí)候,這個(gè)變化并不是明顯可逆的(此時(shí)積分形式非常復(fù)雜),因此用后者研究前者是非常困難的。第一個(gè)方程(0.0.3)并沒(méi)有太大的意義,因?yàn)楹苋菀椎玫竭@類(lèi)方程并不一定存在解(例如考慮y0= 1, f(y) = y,dx=δ1,容易得到y(tǒng)1 = 1+y1)。對(duì)于后面兩類(lèi)方程,在Young的情況下,i.e. x∈Dp,即右連左極且有限 p-變差(‖x‖pp:= supP(?)[0,T]∑u,v∈P|xv-xu|p∞),其中p∈ [1,2),首先由Williams [73]中進(jìn)行了研究,其中它們分別被稱(chēng)為正向的以及幾何的方程。本文中我們得到的結(jié)果在最簡(jiǎn)單的情況下,對(duì)應(yīng)了 Young情況下的方程(0.0.4)。與[73]等之前的工作不同的是,首先,我們并不需要對(duì)x做任何連續(xù)性的假設(shè),擺脫了如[73]等工作中右連續(xù)的假設(shè),并且討論清楚了右連續(xù)與左連續(xù)在定義積分與解方程中的差別(我們僅需要在Riemann-Stieltjes積分的定義上面固定被積函數(shù)在左端點(diǎn)即可,i.e..∫ ydx:=lim|P|→0∑(s,t)∈P ysxs,t);其次,我們直接通過(guò)Picard疊代的方法構(gòu)造了解,而并不需要方程(0.0.5)的輔助(在[73]中作者先要解(0.0.5),再將該方程的解“變”為(0.0.4)的解);再者,我們的方法適用于各階的rough path,i.e. x有有限的p-變差,p ∈[1,∞)。因此,我們能夠給出由一般鞅驅(qū)動(dòng)的Ito積分和方程的逐軌道的解釋(對(duì)應(yīng)了p∈[2,3))的情況,注意到此前的工作對(duì)于方程來(lái)說(shuō)僅限于p∈ [1,2),不足以解釋右連左極半鞅驅(qū)動(dòng)的Ito方程。原因在于文章中我們采取了不同于先前工作的全新的處理技術(shù)手段,我們的主要技術(shù)在于從一個(gè)“足夠好的”劃分出發(fā),充分利用積分形式的代數(shù)結(jié)構(gòu)(這點(diǎn)在二階以上的branched rough path情況下尤為顯著,見(jiàn)第三章),到最一般的情況。為了突出我們的積分依賴(lài)于被積函數(shù)左端點(diǎn)的選取,我們將方程(0.0.4)記為(?).在rough path的框架下,我們也會(huì)遇到這樣的問(wèn)題。對(duì)于x∈Vp,p ∈ [2,3)的情況,由Friz-Shekhar在[22]中得到了右連左極下積分的可積性結(jié)果,其中作者也提出了右連左極的幾何rough path的概念。進(jìn)一步的,對(duì)于帶跳的幾何rough path驅(qū)動(dòng)的方程解的連續(xù)性問(wèn)題,在Chevyrev-Friz[7]中得到進(jìn)一步的研究。本文主要研究的是正向的方程。與(0.0.5)不同的是,這時(shí)我們?nèi)鄙倭?“鏈?zhǔn)椒▌t”,因此我們不能再在熟悉而又完善的幾何rough path的框架下考慮這個(gè)問(wèn)題。對(duì)于p ∈ [2,3)的情況,狀態(tài)空間為Rd"

本文編號(hào)：2805001