【摘要】：組合數(shù)學(xué)主要探討滿足一定條件的組態(tài)(或安排)的存在性、計數(shù)及構(gòu)造等問題,它包括代數(shù)組合學(xué)、極值組合學(xué)、計數(shù)組合學(xué)、圖論、組合設(shè)計、組合優(yōu)化等領(lǐng)域。極值組合學(xué)作為組合數(shù)學(xué)的一個重要分支,它的理論和方法在諸多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用,比如計算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)、編碼學(xué)和實驗設(shè)計等方面。極值組合中的極值問題一直都是較為熱門的研究方向,尤其是隨著計算機(jī)的迅猛發(fā)展,機(jī)器證明的應(yīng)用,使得極值組合問題得到了快速的發(fā)展。近些年以來,有關(guān)極值組合問題的研究成果層出不窮,極大地豐富了組合學(xué)理論。解決極值組合類問題通常用到的方法有反證法、遞歸構(gòu)造、等價轉(zhuǎn)化、歸納猜想、代數(shù)學(xué)方法(包括循環(huán)群、置換群、同構(gòu)、同態(tài))等。在本文中,我們主要研究了極值組合中的三類極值問題。第一,主要研究了歐氏空間中的距離集問題;第二,主要研究了平面網(wǎng)格點中不構(gòu)成直角的最大點集構(gòu)造問題;第三,主要研究了 1-Sperner超圖在達(dá)到上界時的極圖構(gòu)造與計數(shù)問題。全文一共分為五章。第一章中,介紹了本文的研究背景、研究概況及基本概念,并給出極值組合學(xué)中一些已知的重要結(jié)果。第二章中,首先介紹了有關(guān)距離集的基本概念,然后通過利用代數(shù)約束的方法給出了 1-距離集的新證明,同時利用組合數(shù)學(xué)中生成函數(shù)的一些結(jié)論對s-距離集的證明做出了改進(jìn)。第三章中,首先討論了平面網(wǎng)格點中不構(gòu)成直角的最大點集構(gòu)造的問題來源和研究思路,其次給出了平面上m×n網(wǎng)格點中不構(gòu)成直角的最大點集構(gòu)造與計數(shù),最后研究了平面上n×n和m×n網(wǎng)格點中過原點且不構(gòu)成直角的最大點集構(gòu)造與計數(shù)。第四章中,首先介紹了 1-Sperner超圖有關(guān)的一些重要結(jié)論,其次給出了1-Sperner超圖在達(dá)到上界時的極圖構(gòu)造和計數(shù)問題,最后討論了 1-Sperner超圖在達(dá)到下界時頂點數(shù)較小情況下的極圖構(gòu)造和計數(shù)。第五章中,首先總結(jié)了本文的研究內(nèi)容,其次對進(jìn)一步的研究工作進(jìn)行了展望。
【學(xué)位授予單位】：華北電力大學(xué)(北京)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O157
【圖文】：

兩點連接原點且不構(gòu)成直角，下面主要通過歸納猜想的方法，給出ｎ較小時的逡逑可能情形，去猜測ｎ較大時的可能構(gòu)形。經(jīng)過多次作圖計算與驗證，找到了ｎ邋Ｓ邋９逡逑時滿足條件的最大點集的一些構(gòu)形，其中圖３－５給出了平面上９ｘ９網(wǎng)格點中過逡逑原點且無直角的最大點集的兩種構(gòu)形。逡逑圖３－５平面上９ｘ９網(wǎng)格點中過原點且無直角的兩種最大點集構(gòu)形逡逑從圖３－５中的兩種構(gòu)形容易看出，當(dāng)ｎ邋５邋９且ｎ為奇數(shù)時，對應(yīng)的大小逡逑如下：逡逑ｇ（３）邋＝邋２ｘ２邋＋邋４ｘ０邋＝邋２ｘｌ邋＋邋２邋＝邋４；逡逑ｇ（５）邋＝邋２ｘ４邋＋邋４ｘ（０邋＋邋１）邋＝邋２ｘ２２邋＋邋４邋＝邋１２；逡逑ｇ（７）邋＝邋２ｘ６邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２）邋＝邋２ｘ邋３２邋＋邋６＝邋２４；逡逑ｇ（９）邋＝邋２ｘ８邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２邋＋邋３）邋＝邋２ｘ邋４２邋＋邋８邋＝邋４０0逡逑同理，歸納猜測得召（ｎ）邋＝邋２邋ｘ邋（ｎ邋－邋１）邋＋邋４邋ｘ邋（０邋＋邋１邋＋邋２邋＋邋…＋￥邋＋邋＾）＝逡逑２ｘ（�。睿欤蕉　ｅ义弦陨纤聹y的結(jié)果，只可以認(rèn)為是平面ｎｘｎ網(wǎng)格點中過原點且不構(gòu)成直角逡逑的極大點集，為了驗證這個結(jié)果的正確性，下面將使用該平面網(wǎng)格點中關(guān)于中逡逑心原點的旋轉(zhuǎn)對稱性和纟丨〖合學(xué)中的抽屜原理，給出以下定理及其相應(yīng)的證明。逡逑弓丨理３．邋３．邋１在平面上的ｎ邋ｘ邋ｎ網(wǎng)格點中，令ｎ為奇數(shù)，貝ＩＪ有＝邋ｆ。逡逑證明：同圖３－５類似，�。顬槠鏀�(shù)，以平而丨：ｎｘｎ網(wǎng)格點屮的中心點為原點建逡逑２１逡逑

過原點且不構(gòu)成直角的最大點集的構(gòu)造，這里令￡（（ｍ，ｎ）表示平面上的ｍ邋ｘ邋ｎ網(wǎng)逡逑格點中過原點且不構(gòu)成直角的最大點集的基數(shù)。同３．３．１節(jié)中考慮的方法類似，逡逑給出以下圖３－６和歸納猜測的結(jié)果。逡逑＿＿逡逑a義希藎�，，逦，]海殄義賢跡常鍍矯嬪希梗歟焱竦闃泄闈椅拗苯塹囊恢腫畬蟮慵剮五義洗油跡常噸新閭跫淖畬蟮慵拇酥止剮慰梢鑰闖觶保�，ｎ均为奇数橇x義希礤澹煎澹鉉郟保筆保雜挘ǎ�，ｎ）的大小瓤z鹵恚哄義媳恚常鋇保�，邋ｎ均为奇数沁b礤澹煎澹鑠澹渝澹保筆保琹挘ǎ�，邋ｎ）掉[靛義希鑠危沖危靛危峰危瑰義希靛危保板義希峰危保跺危玻插義希瑰危玻插危常插危常稿義希保卞危玻稿危矗插危擔(dān)插危擔(dān)稿義賢ü隕媳恚常敝校穡ǎ

本文編號：2801034