【摘要】：1912年,Henri Poincare在討論模形式問題時第一次提到了 Kloosterman和.1926年,H.D.Kloosterman在研究整數(shù)表示為平方和問題時,運(yùn)用Hardy-Littlewood方法,在復(fù)數(shù)域中進(jìn)一步對經(jīng)典Kloosterman和進(jìn)行了研究.這類和式在解析數(shù)論中有著重要的作用和研究價值.然而我們注意到經(jīng)典Kloosterman和中a及(?)的指數(shù)均為1.事實(shí)上在研究某些數(shù)論問題時,往往涉及到的一些和式或者帶有Dirichlet特征,或者和式中的a和(?)的指數(shù)不全為1.故而為了將來研究的方便本文將經(jīng)典Kloosterman和進(jìn)行推廣,定義兩類新和式:(r,S)型Kloosterman和K(r,s,m,n;g)與帶特征的廣義Kloosterman和K(m,n,χ;q),并進(jìn)一步研究它們的性質(zhì).具體地,本文將基于特征和方法,運(yùn)用特征及Gauss和的相關(guān)性質(zhì),并結(jié)合同余理論,研究新定義的兩類Kloosterman和的高次均值問題;并將研究與其密切聯(lián)系的二項(xiàng)指數(shù)和與三項(xiàng)特征和的混合均值;作為應(yīng)用,本文求解了一類對角同余方程解的個數(shù),并給出包含Chebyshev多項(xiàng)式的一個積分卷積公式,而且徹底解決了陳永高提出的關(guān)于Leviine-O’Sullivan序列的猜想.1.對于(r,s)型 Kloosterman和K(r,s,m,n q,本文取參數(shù)g,r,s 為一些特殊值,并運(yùn)用同余的性質(zhì),研究其四次均值準(zhǔn)確的計(jì)算公式.對于廣義Kloosterman和K(m,n，χ;q),本文主要結(jié)合B.J.Birch的重要工作,參考S.Chowla,J.Cowles,M.Cowles 的工作,以及 W.Duke,H.Iwaniec 的相關(guān)結(jié)論去討論這類廣義Kloosterman和的2k次均值性質(zhì).并利用三角和及Guass和的性質(zhì),解決了其在k取一些小整數(shù)值且模p特征χ取一些特殊情形時準(zhǔn)確的計(jì)算公式.2.本文利用特征和的性質(zhì)以及相關(guān)的同余理論,將二項(xiàng)指數(shù)和與三項(xiàng)特征和中的參數(shù)均取為k = 3,h = 2,給出二項(xiàng)指數(shù)和與三項(xiàng)特征和混合均值的計(jì)算公式.3.作為指數(shù)和問題的應(yīng)用,我們利用特征和的性質(zhì)及分析的手段,給出對角三次同余方程解的個數(shù)的計(jì)算公式.即當(dāng)c≠0 modp時,本文給出三次同余方程x_1~3+x_2~3 + x33+x_4~3≡c mod p解的個數(shù)的計(jì)算公式.并且作為一個推論,還可以得出二項(xiàng)指數(shù)和四次均值的計(jì)算公式.4.Chebyshev多項(xiàng)式是一類很重要的正交多項(xiàng)式,我們知道它的許多性質(zhì)的研究在數(shù)值分析、工程數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)、非線性數(shù)學(xué)物理方程中都有著重要的應(yīng)用.本文給出第一類Chebyshev多項(xiàng)式的積分卷積公式,研究的方法主要是利用代數(shù)手段并結(jié)合第一類Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì),5.對于Levine-O'Sullivan序列{q_n},陳永高提出兩個猜想,楊仕椿與蔣自國對其進(jìn)行研究并已經(jīng)解決了第二個猜想.但對第一個猜想,至今還未被證明其準(zhǔn)確性.本文則繼續(xù)研究這個問題并將徹底解決這一猜想,嚴(yán)格地證明了q_n=β~(β-3)n~β+o(n~β).主要用到的方法是最初等的數(shù)學(xué)歸納法以及數(shù)學(xué)分析的理論.
【學(xué)位授予單位】：西北大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O156.4

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 賀小林,王輝;關(guān)于模n逆的分布及推廣[J];西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2002年03期

2 梅章駿;從一組有趣的數(shù)字規(guī)律到一類同余方程的解[J];安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1999年01期

3 趙志印，孟繁申;二次廣義自生數(shù)[J];河北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1996年03期

4 彭敦剛,李德水;同余方程[J];高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1997年03期

5 鄒兆南，陳菊林;不定同余方程x~（2n）＋（x＋1）~（2n）＋…＋（x＋h）~（2n）≡（X[J];重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào);1994年01期

6 張寶文;;模大于3的素?cái)?shù)的一元三次同余方程的一種解法[J];林區(qū)教學(xué);2006年06期

7 沈忠燕,于秀源;一個新的同余方程及其漸近公式[J];杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2003年05期

8 鄒兆南，肖慶憲;關(guān)于素?cái)?shù)模P＝13的偶次冪同余方程的解[J];河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1994年02期

9 王峗杰;;一類同余方程解數(shù)的上界估計(jì)[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);2009年06期

10 沈忠燕;一個同余方程的原根解的個數(shù)[J];浙江教育學(xué)院學(xué)報(bào);2005年02期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 呼家源;基于特征和方法的Kloosterman和相關(guān)問題的研究及其應(yīng)用[D];西北大學(xué);2018年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前5條

1 史三英;數(shù)論中的若干新結(jié)果[D];同濟(jì)大學(xué);2007年

2 孫波;RSA體制通過解密指數(shù)d分解模N的分析[D];山東大學(xué);2012年

3 何震;關(guān)于原根的一個注記[D];蘇州大學(xué);2009年

4 秦瑋;包含Smarandache函數(shù)和歐拉函數(shù)的方程及其性質(zhì)的研究[D];西北大學(xué);2010年

5 王迎美;關(guān)于二元多項(xiàng)式同余方程解的個數(shù)問題[D];山東大學(xué);2012年

本文編號：2792279