【摘要】：Magnetohydrodynamics(MHD)這個(gè)詞在1942年首次被瑞典物理學(xué)家Hannes Alfl-ven使用:“At last some remarks are made about the transfer of momentum from the Sun to the planets,which is fundamental to the theory.The importance of the mag-netohydrodynamic waves in this respect are pointed out.”~([1]).現(xiàn)在,磁流體動(dòng)力學(xué)(MHD)已經(jīng)發(fā)展成為物理,力學(xué)和數(shù)學(xué)的交叉學(xué)科的一個(gè)活躍分支.它研究是導(dǎo)電流體在外加電磁場的運(yùn)動(dòng)行為,它的研究對(duì)象包括等離子體,液態(tài)金屬,鹽水和電介質(zhì)等.MHD在地球物理,天體物理,宇宙學(xué)和熱核控制中等工程領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,參見文獻(xiàn)~([2 4]).MHD的基本物理規(guī)律是磁場能夠在運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電流體中誘導(dǎo)出電流,流體中的電流又能產(chǎn)生磁場從而反過來改變原來的外加磁場.描述MHD模型的方程是流體的Navier-Stokes方程與電磁場的Maxwell方程的耦合.據(jù)我們所知,MHD方程的數(shù)學(xué)理論研究起源于M.Sermange,R.Temam的文獻(xiàn)~([5]),直到現(xiàn)在,已經(jīng)有很多文獻(xiàn)研究MHD方程的數(shù)學(xué)理論,參見~([6 12]).同時(shí),MHD問題的數(shù)值方法的研究也非常活躍.在1991年,M.D.Gunzburger,A.J.Meir和J.P.Peterson在文獻(xiàn)~([13])中研究了定常MHD方程的伽遼金有限元離散.后來,J.F.Gerbeau,C.Le Bris和T.Leli`evre在專著~([14])討論了許多定常MHD方程的數(shù)學(xué)理論和數(shù)值方法.另外,還有很多文獻(xiàn)從數(shù)值角度研究MHD問題,請(qǐng)參見~([15 21]).數(shù)值研究MHD問題主要有三個(gè)困難:非線性,耦合性和多物理場求解.非線性是指流體部分的對(duì)流項(xiàng)和洛倫茲力項(xiàng)與磁方程部分的對(duì)流項(xiàng)都是非線性的.處理非線性的通常方法是將其線性化,如Picard線性化,牛頓線性化.但在大物理參數(shù)情形下,非線性迭代收斂會(huì)非常慢,甚至不收斂.耦合性是指描述流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程和描述電磁場的Maxwell方程通過洛倫茲力和歐姆定律耦合在一起,要求解MHD方程需要同時(shí)求解速度場,壓力,磁場甚至可能還有電場.所以在實(shí)際計(jì)算中需要計(jì)算的自由度非常多,這就給計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和線性求解器的設(shè)計(jì)帶來巨大的挑戰(zhàn).多物理性是指MHD問題涉及到多個(gè)不同的物理場變量的求解,不同的物理場所對(duì)應(yīng)的算子各有特點(diǎn),模型離散后得到的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)分塊矩陣.不同的物理場所需要的預(yù)處理算子是不同的,特別地,求解各個(gè)物理場預(yù)處理算子逆作用的高效穩(wěn)定的求解策略也是不同的,這給設(shè)計(jì)MHD高效穩(wěn)定的求解器帶來巨大的挑戰(zhàn).本文主要是圍繞MHD問題的非線性,耦合性和多物理場求解這三個(gè)困難開展研究的.本文的主要工作是~*:1.提出了求解MHD方程的基于兩網(wǎng)格的耦合校正和解耦并行校正算法.我們建立了MHD方程解的適定性的精確條件和一致的誤差估計(jì).在此基礎(chǔ)上,通過理論分析,發(fā)現(xiàn)這兩類算法對(duì)MHD模型的物理參數(shù)的依賴性,為這兩類算法建立了理論基礎(chǔ).同時(shí)數(shù)值算例驗(yàn)證了我們的理論分析和顯示了這兩類算法的高效性.2.提出了非定常MHD方程的解耦格式.通過解耦流體方程和磁場方程,使得在模擬隨時(shí)間發(fā)展的MHD問題時(shí)能夠分別處理流體部分和磁場部分,這樣就能夠利用成熟的求解流體和磁場的軟件包.我們給出了該解耦格式的數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性分析,得到該解耦格式是幾乎無條件(?t≤C)穩(wěn)定的和收斂的,并且具有最優(yōu)階誤差估計(jì).3.針對(duì)保結(jié)構(gòu)MHD模型,我們提出了三種無條件能量穩(wěn)定的數(shù)值格式,分析了這三種數(shù)值格式的收斂性和穩(wěn)定性.針對(duì)其中的Picard線性化格式,我們設(shè)計(jì)了一致的求解器,并給出了理論分析和數(shù)值驗(yàn)證.理論和實(shí)驗(yàn)都表明,無論是精確求解預(yù)處理作用還是近似求解預(yù)處理作用,該求解器的迭代次數(shù)都與網(wǎng)格尺度,時(shí)間步長,和物理參數(shù)無關(guān).
【學(xué)位授予單位】：西安交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O361.3;O241.8

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