【摘要】：本文主要工作是發(fā)展已有的H1-Galerkin混合有限元方法、提出新的改進(jìn)H1-Galerkin混合有限元格式、提出一類新的混合有限元算法和新的兩層網(wǎng)格混合有限元算法.通過(guò)數(shù)值求解一些非線性Caputo型或Riemann-Liouville型時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程給出算法的數(shù)值理論分析及計(jì)算結(jié)果,這些微分方程包括非線性分?jǐn)?shù)階水波模型、非線性分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散模型、非線性分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程、非線性分?jǐn)?shù)階四階雙曲波問(wèn)題等.為了形成全離散數(shù)值格式,時(shí)間方向上主要采用了向后Euler格式、二階向后差分格式、二階Crank-Nicolson格式和二階α格式,相應(yīng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)通過(guò)L1-公式、WSGD算子逼近公式、L2-1σ公式和修正L1-公式逼近方式離散.分別針對(duì)每一個(gè)混合有限元數(shù)值方法,推導(dǎo)了誤差估計(jì)等數(shù)值理論,通過(guò)大量的計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)理論進(jìn)行驗(yàn)證.詳細(xì)的研究?jī)?nèi)容可概括為如下幾個(gè)部分:(Ⅰ).在第三章和第四章中,利用H1-Galerkin混合有限元方法數(shù)值求解非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階水波模型和非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題.對(duì)于非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階水波模型,時(shí)間方向上采用向后Euler離散,Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用L1-公式逼近,進(jìn)一步形成H1-Galerkin混合有限元系統(tǒng).文中給出了數(shù)值格式的穩(wěn)定性分析,同時(shí)推導(dǎo)了兩個(gè)未知函數(shù)的最優(yōu)H1-和L2-模誤差估計(jì),最后選擇具有給定初值的數(shù)值例子對(duì)方法進(jìn)行驗(yàn)證說(shuō)明,為了觀察解的表現(xiàn)行為,分別給出了基于不同系數(shù)參數(shù)情況下的數(shù)值圖像;進(jìn)一步考慮非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題.采用二階向后差分逼近格式離散時(shí)間方向,利用二階WSGD算子逼近Riemann-Liouville型時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),相比L1公式提高了收斂階數(shù).給出先驗(yàn)誤差估計(jì)的詳細(xì)證明過(guò)程,獲得了基于H1-和L2-模的時(shí)間二階估計(jì)結(jié)果.通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子說(shuō)明算法的有效性,也反映了較傳統(tǒng)有限元方法的優(yōu)勢(shì).(Ⅱ).在第五章中,提出一個(gè)新的混合有限元算法用于數(shù)值求解非線性Caputo型時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程.根據(jù)方程的特點(diǎn),通過(guò)兩個(gè)輔助函數(shù)變量的引入和分?jǐn)?shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換技巧,將原分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)空低階耦合方程組系統(tǒng).借助H1-Galerkin混合有限元算法的結(jié)構(gòu)框架,提出了一個(gè)新的混合有限元算法.新的混合元算法的特點(diǎn)是將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)從1β2降為0α1,二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化到一階時(shí)間導(dǎo)數(shù).進(jìn)一步可以采用二階α型逼近公式對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散,具有3-α階的L2-1σ公式對(duì)轉(zhuǎn)化后的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近,從而形成了時(shí)間高階的新的混合有限元系統(tǒng).在數(shù)值理論上證明了穩(wěn)定性不等式,推導(dǎo)了三個(gè)函數(shù)變量的基于L2范數(shù)的最優(yōu)階誤差估計(jì),獲得了兩個(gè)中間變量的最優(yōu)H1-模誤差結(jié)果.通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)說(shuō)明提出的新混合有限元算法是有效的,并通過(guò)誤差的等高線圖反映誤差在時(shí)空區(qū)間上不同區(qū)域的表現(xiàn)行為和受分?jǐn)?shù)階參數(shù)變化的影響情形.(Ⅲ).在第六章和第七章中,提出新的混合有限元系統(tǒng)和新兩層網(wǎng)格混合元算法用于數(shù)值求解帶有Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的二維非線性分?jǐn)?shù)階四階雙曲波動(dòng)方程.通過(guò)兩個(gè)輔助變量的引入,特殊技巧的處理,形成新的三個(gè)方程組成的耦合系統(tǒng).該系統(tǒng)的特點(diǎn)是時(shí)間轉(zhuǎn)化成低階導(dǎo)數(shù),空間降為二階導(dǎo)數(shù),進(jìn)而可以采用多種離散方式進(jìn)行逼近.在這里,利用基于修正L1-逼近的Crank-Nicolson格式離散時(shí)間,采用混合有限元方法逼近空間.從穩(wěn)定性和誤差的數(shù)值理論上給出了詳細(xì)證明,獲得了最優(yōu)L2-模誤差估計(jì)結(jié)果,也通過(guò)大量的數(shù)據(jù)說(shuō)明了提出的新混合有限元算法的可行性.進(jìn)一步為了提升第六章算法的計(jì)算效率,結(jié)合兩層網(wǎng)格方法形成一個(gè)新的兩層網(wǎng)格混合有限元算法,并用于數(shù)值求解第六章的非線性四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙曲波模型.推導(dǎo)了兩層網(wǎng)格混合有限元算法的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)結(jié)果.為了說(shuō)明該方法計(jì)算優(yōu)越性,在數(shù)值上與第六章的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果顯示該方法在兩層網(wǎng)格的計(jì)算下能保持與直接細(xì)網(wǎng)格計(jì)算下相同的計(jì)算精度,而且很大程度上節(jié)省了計(jì)算時(shí)間.
【學(xué)位授予單位】：內(nèi)蒙古大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.82
【圖文】：

圖４．１：乜和如的比較

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