【摘要】：數(shù)學(xué)物理反問題已成為具有交叉性的計算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)中的一個重要研究方向.它在生命科學(xué)、材料科學(xué)、信號處理以及工業(yè)控制等領(lǐng)域具有重要而廣泛的應(yīng)用背景.熱傳導(dǎo)方程反邊值問題是一類重要的數(shù)學(xué)物理反問題,在熱成像、擴散光學(xué)成像和熒光成像等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.帶Dirichet邊界條件或Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)方程反邊值問題已有很多的研究結(jié)果,但對帶Robin邊界條件的情形研究較少.本文中利用定解區(qū)域的已知邊界r2上的測量數(shù)據(jù)重建未知邊界Γ1的形狀及Robin系數(shù)的熱傳導(dǎo)方程反問題.假設(shè)熱方程在已知的邊界r2上滿足Neumann邊界條件,而在未知的邊界Γ1上滿足Robin邊界條件,且Robin系數(shù)λ僅與空間變量有關(guān).首先,將所研究的反問題歸結(jié)為一個非線性不適定算子方程.其次,利用Newton方法將其線性化,再用正則化的最小二乘法進行求解.本文重點研究上述反問題的數(shù)值算法及其數(shù)值實現(xiàn).全文結(jié)構(gòu)如下:第一章,敘述熱傳導(dǎo)反邊值問題的研究背景和已有的工作,并介紹本文的研究工作;第二章,利用邊界積分方程方法求解正問題,將熱方程的解用單層位勢形式表示出來,再由單層位勢及其導(dǎo)數(shù)在邊界上的跳躍關(guān)系得到一個邊界積分方程組,利用配置方法對積分方程組進行離散,求出密度函數(shù),得到正問題的數(shù)值解.從而得到反問題中所需要的外邊界上的測量數(shù)據(jù);第三章,建立求解反問題的數(shù)值方法,將反邊值問題歸結(jié)為一個非線性不適定算子方程,再用Newton方法進行求解,迭代過程中需要計算算子在Frechet導(dǎo)數(shù)意義下的全微分,因此本章先給出該算子的全微分的理論推導(dǎo),再給出數(shù)值計算方法;第四章,建立反問題的數(shù)值實現(xiàn)方案,給出數(shù)值算例說明算法的可行性和有效性;第五章,總結(jié)本文的主要工作和研究方法,并對未來的相關(guān)研究問題做出展望.
【學(xué)位授予單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175.8
【圖文】：

逡逑其中１／是邊界的單位外法向量（如圖１．１所示），Ａ邋＝邋Ａ0ｒ）邋＞邋０是Ｒｏｂｉｎ系數(shù)，本文中假設(shè)它逡逑僅與空間變量有關(guān)，Ｔ是固定的常數(shù)．逡逑＠逡逑圖１．１區(qū)域示意圖逡逑該模型對應(yīng)的正問題是己知邊界６上的熱流／，區(qū)域乃，以及Ｒｏｂｉｎ系數(shù)Ａ，求溫度分逡逑布而反問題是己知１＾２上的熱流和相應(yīng)的溫度分布逡逑ｕ｛ｘ，ｔ）邋：＝邋ｇ｛ｘ，ｔ），邐（ｘ，ｔ）邋６邋ｒ２邋Ｘ邋（０，Ｔ），邐（１．２）逡逑重建未知邊界ｈ的幾何信息及Ｒｏｂｉｎ系數(shù)Ａ．具體而言，本文研宄的反問題分為三部分：逡逑１．

第四章數(shù)值實現(xiàn)例１．在花生型邊界上重建阻尼系數(shù)逡逑Ａ邋＝尸．１邐，逡逑＾／１邋－０．２ｓｉｎ（２ａ）逡逑是半徑為１．５，中心在原點的圓．逡逑初始猜測取＝邋１，三角多項式的展開項為尸＝２，左圖是精確測量數(shù)據(jù)反演阻尼Ａ的結(jié)果，按照上述步驟開始迭代，迭代次數(shù)為Ｌ邋＝邋１０，右圖是加Ｊ邋＝邋０．０１噪音水平的數(shù)據(jù)反演阻尼系數(shù)Ａ的結(jié)果，迭代次數(shù)為Ｌ邋＝邋１３．由圖中可看到在精確測量數(shù)據(jù)下可較好的反演結(jié)果，將測量值加上誤差之后也可得到阻尼系數(shù)的大致數(shù)值．逡逑

．媝s6逡逑０６＊邋１邋１邋１邋＇邋＇邋＇邋１邋邐0８＞邋１邋１－邋１邋１邋１—＾邋１—逡逑０邋５邋１０邋１５邋２０２５３０３５４０邐０邋１邋２邋３邋４邋５邋６逡逑圖４．１精確數(shù)據(jù)邐帶１％噪音水平的誤差數(shù)據(jù)逡逑例２．在花生型邊界上重建阻尼系數(shù)為逡逑Ａ邋＝邋１邋＋邋ｓｉｎ３邋ａ，逡逑徏是半徑為２，中心在原點的圓．逡逑初始猜想取Ａ0邋＝邋１，三角多項式的展開項為Ｐ邋＝邋４，左圖是用精確測量數(shù)據(jù)反演阻逡逑尼系數(shù)Ａ的結(jié)果，按照上述步驟開始迭代，迭代次數(shù)為Ｌ邋＝邋１０，右圖是將精確測量數(shù)據(jù)加逡逑上＜５邋＝邋０．０１噪音水平的誤差數(shù)據(jù)反演阻尼系數(shù)Ａ的結(jié)果，迭代次數(shù)為Ｌ邋＝邋１３．由下面兩圖逡逑可以看到在精確數(shù)據(jù)下可得到較為精確的數(shù)值，測量數(shù)據(jù)加上誤差之后也可得到大致的逡逑數(shù)值？逡逑

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 Kyoungsun Kim;Gen Nakamura;;NUMERICAL IMPLEMENTATION FOR A 2-D THERMAL INHOMOGENEITY THROUGH THE DYNAMICAL PROBE METHOD[J];Journal of Computational Mathematics;2010年01期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 王玉嬋;幾類拋物型方程反邊值問題的數(shù)值求解[D];東南大學(xué);2017年

本文編號：2765493